Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
еЮ(2к)( A >' J
АфО,
U^iX, P) =
= lim (=F ie) (2я)(-3^+3)/2 f R (X, Х',Р*± iO) X
Xexp{t(X\ P)}dX',
где R(X, X', z) — ядро резольвенты в Х-представлении. Это ядро называют функцией Грина. Через 1Л обозначено число кластеров детализованного разбиения А.
§ і. резольвента и волновые операторы
47
Приведем выражение для ядра волнового оператора в импульсном представлении:
= lim =f *е f dk"AR {Р\Р (к"А, рА\ЕА (рА) ± ie) tyA (к"А\
8 | о
А^О. (2.5)
Здесь вектор Р = (JkwAi рА) задан в базисе &"А, рА% отвечающем детализованному разбиению А. Ядро UQ получается отсюда, если положить г|^0 — 1, т. е. Uq^\P' , Р) = = lim=FtoA (Р\ Р, Р2 ± ie).
Отметим, что ядра резольвенты и волновых операторов, вообще говоря, являются обобщенными функциями. Поэтому соотношение (2.5) и аналогичные формулы, которые будут встречаться в дальнейшем, следует понимать в пространстве обобщенных функций. Мы не будем, однако, оговаривать это обстоятельство специально, если это не требуется существом дела.
Перейдем к .изучению кулоновских волновых операторов. Воспользуемся на первом этапе формулой (2.1). Получим вместо (2.2) интеграл
U(±) = lim±8 Lim)LAX
Хехр {— iEAt — i sign ?r]Aln| t\} dt.
Чтобы вычислить этот интеграл, воспользуемся следующим утверждением.
Пусть фЫ — голоморфная в окрестности вещественной оси функция. Для любого самосопряженного оператора А справедливо соотношение:
9(A) = 2^(j)<p(z)RA(Z)dz, (2-6)
V
где через RA(z) обозначена резольвента оператора А, RA(z) = (А — z)-\ Интегрирование ведется по контуру ^, охватывающему спектр А в отрицательном направлении.
Применяя это соотношение и вычисляя затем интеграл по ?, придем к представлению
48
ГЛ. II. СВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ
где величина цА задается равенством (1.24). Рассмотрим ядра в этом выражении в импульсном представлении. Интегрирование по ъ дает следующий результат:
X Нт=ь ж \ Нг±^ (Р, к"А, рА, ЕА (рЛ ± (г) ЦА {кА) д,к\. Здесь через
д1±па (Рх обозначено ядро оператора
И1±гТ1А индекс А принимает все значения, включая А = 0.
Следует отметить, * что представление (2.7) значительно менее удобно для вычислений, чедо (2.3), из-за появления комплексной степени резольвенты В.1±гЦл^). В § 4 мы, изучив основные особенности резольвенты, получим альтернативное соотношение, в котором комплексная степень будет перенесена на параметр 8. Именно в таком виде более непосредственно прослеживается связь между резольвентой и обобщенными волновыми операторами.
Формулы (2.3) и (2.7) составляют основу для последующих рассуждений данной главы. Начиная с этого момента, мы переходим к не зависящему от времени описанию волновых операторов. Дальше мы будем заниматься вычислением пределов (2.3), (2.7) и не будем больше обращаться к исходному дипамическому определению волновых операторов.
Ясно, что результат предельного перехода в формулах (2.5) и (2.7) определяется сингулярцостями ядра резольвенты Я (Р, Рг, при вещественных ъ. Другими словами, если представить это ядро в виде суммы ограниченных и сингулярных при 1т ъ — 0 членов, то все слагаемые, не имеющие сингулярностей, дадут нулевые вклады в пределе е I 0 за счет множителя е. Нетривиальные слагаемые возникнут лишь от членов, стремящихся к бесконечности как е~\ Поэтому следующая задача заключается в выделении этих особенностей ядра резольвенты.
§ 2. Особенности резольвенты. Нейтральные частицы
В этом параграфе мы опишем основные особенности ядра резольвенты К {%) в случае короткодействующих потенциалов. Мы будем действовать в ймпульсцом представлении, где эти особенности сводятся к полюсам и
§ 2. ОСОБЕННОСТИ РЕЗОЛЬВЕЙТЫ (НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ)
49
o-функциям. Свойства ядра резольвенты в конфигурационном пространстве мы опишем в главах IV и V.
Последовательное, математически строгое описание особенностей представляет-собой трудную задачу, полное решение которой может быть получено с помощью интегральных уравнений типа Фредгольма. Можно, однако, угадать структуру основных сингулярностей, пользуясь наводящими соображениями, которые основаны на гипотезе q строении дискретного спектра операторов энергии подсистем. Соответствующая схема представляет определенный самостоятельный интерес, поскольку на ее основе можно эффективно получать явные * представления для физически интересных величин, не обращаясь к анализу громоздких интегральных уравнений. Строгое- обоснование этих" результатов может быть, однако, получено лишь с помощью последних.
Уравнения теории возмущений. Мы начнем с описания тождеств, 'которым удовлетворяет резольвента R(z). Применим тождество
А-1 - В"1 - А-ЧВ - А)В"1 (2.8)
к паре операторов А = H — z и В =^= Н0 — z. Обозначим через R0(^) резольвенту оператора, кинетической энергии, R0(z) — (Н0 — z)"1. Получим следующие соотношения:
RU) = ВоЫ - RoWVR(s),
(2.9)
R(z) = НоЫ - R(s)VRo(z).
Эти тождества, с другой стороны, можно рассматривать как уравнения для резольвенты R(z), называемые уравнениями теории возмущений. Можно показать, что такие уравнения однозначно определяют резольвенту при z вне спектра оператора Н.
