Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Сплетающее свойство в терминах волновых функций принимает вид стационарного уравнения Шредингера:
( - Л +^ "а^ - ЕА (рА)^ и(Х,рА) = 0. (1.35)
Таким образом, волновые функции можно трактовать как собственные функции непрерывного спектра оператора энергии.
Равенство (1.31), которое имеет вид
| иА(х,рА) иА (х, рв) ах = бАВб (Ра - Р'в\
можно тогда рассматривать как условие ортогональности этих функций. Наконец, условие асимптотической полноты означает, что произвольная функция из подпространства $с может быть разложена в обобщенный интеграл Фурье по волновым функциям
/с = |1с/а(*, РА)ёА(РА)^РА. Здесь коэффициенты Фурье задаются равенствами
ёЛрА)-\иА{х,рА)п{Х)йх.
В заключение мы сформулируем перечисленные выше свойства волновых операторов в компактной форме. С этой целью введем в рассмотрение матричный волновой оператор 0(±), действующий из пространства каналов $а8 в пространство По определению, положим
• а
Через Н0 обозначим приводимый в фа8 оператор, задаваемый равенством
Н„ = 2 е Ы'НлЬд.
а
В каждом канале $А этот оператор, называемый асимптотическим гамильтонианом, действует как оператор
40
гл. I. общие положения теории рассеяния
умножения на функцию Еа(ра),
'(Ь^НлЬл)/^) = (pl-*.A)fA(pA)^EA(pA)fA(pA).
.—.
Через I обозначим тождественное преобразование $а8.
Свойства волновых операторов описываются следующим утверждением.
Предложение U. Оператор энергии системы N тел Н в подпространстве фс унитарно эквивалентен асимптотическому гамильтониану Н0. Существует изометрический оператор Ъ, действующий из пространства каналов фа8 в подпространство $с, такой, что выполняются соотношениям
U*U=T, ии* = .Рс, Ни = Ш0. (1.36)
В качестве оператора U можно взять матричные волновые операторы U(±).
Первое из этих соотношений представляет собой условие ортогональности областей значений волновых операторов. Второе в замкнутом виде выражает условие асимптотической полноты и должно рассматриваться как гипотеза. Наконец, последнее соотношение эквивалентно равенствам (1.35), которые имеют вид уравнений ВДре-дингера для волновых функций.
Подчеркнем в заключение, что предложение U справедливо как для быстроубывающих, так и для дально-действующих потенциалов. При этом в качестве волновых операторов следует брать либо пределы (1.22), либо обобщенные волновые операторы (1.25).
§ 6. Оператор рассеяния
В этом параграфе мы дадим строгое определение
оператора рассеяния, опишем его общие свойства и
обсудим физический смысл матричных ядер этого оператора.
Рассмотрим в фа8 оператор
§ = С<->*и<+>, (1.37)
называемый оператором рассеяния. Этот оператор действует на элементы пространства каналов фаз согласно
§ 6. оператор Рассеяний 41
формулам
/а = 2 Sab/б,
где матричные элементы Sab определяют оператор рассеяния из канала $в в канал $А:
Sab = U(a-)*Ub+). (1-38)
Из определения волновых- операторов вытекает следующее нестационарное представление для операторов Sab:
Sab = Ню е^Ъ^е^Г^Ь****. (1.39)
t^oo
В случае заряженных частиц матричные элементы Sab задаются формулами
Sab = Hm exp {iEAt± + ir\A 1д | h ]} ЬАг x
X exp {iH (t2 — tj)} LB exp {— iEB«2 + iT)B In 112 | }. (1.40)
Общие свойства оператора рассеяния можно описать с помощью следующего предложения.
Предложение S. Пусть выполняется условие асимптотической полноты. Тогда оператор S ятяется унитарным и коммутирует с оператором энергии в про-странстве каналов Н0:
ss* = s*s =% SH0 = Hrs.
TT ^>N. >Ч
Докажем сначала равенство SS* = I. Заметим, что из определения оператора рассеяния и условия асимптотической полноты вытекает равенство
Так как область значений оператора U(~} совпадает с фс, отсюда немедленно следует искомое равенство. Аналогично доказывается равенство S*l3 = I.
Чтобы доказать перестановочность операторов S и Н0, воспользуемся сплетающим свойством и поменяем сначала порядок операторов
42 ГЛ. і. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИЙ РАССЕЯНИЯ
= U(-)*HU(+). Пфёставляя на втором шаге операторы Н и U(+), получим искомое равенство.
Опишем общие свойства ядер оператора рассеяния Sab(pa, р'в)- Как мы показали, оператор S коммутирует с гамильтонианом каналов Н0, действующим в них как оператор умножения на функцию ЕА(рА). Это значит, что ядра $Ав(рА, р'в) должны быть пропорциональны б-функциям вида б (?А (рА) — Ев (р'в)):
sab (рА, Р'в) = ЦЕА (рА) - Ев (РВ)) SAB (рА1 р'в, ЕА).
При этом ядра jSab задают интегральный оператор, называемый матрицей рассеяния. Последняя действует из гильбертова пространства функций на единичной сфере 1/?в|=1 в гильбертово пространство функций на единичной сфере \рА\ = 1.
Выясним физический смысл матричных элементов ^-матрицы. Мы рассмотрим простейший случай рассеяния в системе двух частиц. Как будет видно в главе IV, ядро оператора рассеяния s(p, р') имеет вид
*(А р) = 8(р - р') - 8(р2 - p'2)i$r р\ р2),
где ядро t уже не имеет особенностей. Таким образом, \t\2 определено, и именно это выражение имеет физический смысл, ,
Рассмотрим начальное состояние с приблизительно точными значениями энергии и направления движения
