Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Разбиением будем называть некоторый способ разделения системы N тел на к подсистем, к ^ N. Различные разбиения будем обозначать латинскими буквами а}?\ причем индекс Л^, указывающий число частиц в системе, будем, как правило, опускать. Подробно разбиение описывается указанием входящих в него подсистем. Например, символ
а3 = (132)(4)(65)
обозначает разбиение шести частиц на три подсистемы а3(132), РД4), 1(2(65). Ясно, что порядок расположения подсистем и порядок частиц в обозначениях последних несущественны.
Отметим, что разбиение однозначно определяется указанием пары частиц (?/), объединенной в подсистему а2. Поэтому ниже мы будем часто использовать символ разбиения для обозначения отвечающей ему пары частиц (у) подсистемы а2.
Если разбиение ак получается из разбиения а* Ц<к) делением его подсистем на части, будем говорить, что ак следует за яг, или а{ предшествует ак, и использовать обозначение ак <= а{ или а{ ак. В дальнейшем одинаковыми буквами будем обозначать только те разбиения, которые связаны знаком т. е. а2 => а3 =>... з а^.
Последовательность таких разбиений, начинающуюся с некоторого ак, 2^k<N — 1, и представляющих последовательное деление на две одной из подсистем, будем называть цепочкой разбиений и обозначать через Ак:
Ак = (ак, ак+1, ..., ая-1).
Последним разбиением в-цепочке всегда является ая~{.
Цепочка разбиений Ак определяет некоторый способ последовательного разделения ак-{ на N отдельных частиц. В частности, полная цепочка А2 = (а2, а3, ..., аК-{) определяет способ такого разделения самой системы. В обо-
16 ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯПИЯ
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
взаимодействия между частицами. Последовательность деления подсистем на две задается упорядочением уровня ветвлений снизу вверх.
В системе трех тел существует только один тип дерева (рис. 1), которое отвечает включению взаимодействия сначала между частицами 1, 2, а затем частицы 3 с первыми двумя. Все остальные цепочки могут быть получены простой перенумерацией ветвей.
Более сложная картина возникает в системе четырех тел. В этом случае существует два типа включения взаимодействия (рис. 2, 3). Всего имеется 12 деревьев первого типа и 6 — второго.
С ростом N число деревьев различных типов быстро растет.
Каждой подсистеме (0/(п4, гс2, %..пд мы сопоставим соответствующий оператор энергии Н^:
і
И*1 в - 2 ДЧ + 2 (гЯ| - гп.), (1.6)
который действует в гильбертовом пространстве ?2(К30 функций і|)(гПіІ Гп2, ..гп^) координат частиц, входящих в подсистему. В соответствии с принятым соглашением, оператор Ни совпадает с оператором энергии системы
Ня, а оператор НЮі — с оператором — АГп^ кинетической энергии частицы с номером щ.
значениях цепочек разбиений иногда удобно выделять старшие разбиения, т.. е.
Ак = (аА, Ак+1) = ак+и Ак+2) и т. д.
Цепочку можно графически изобразить в виде «дерева», каждое ветвление которого соответствует включению
§ 2. КИНЕМАТИКА
47
Разбиению ak сопоставляется разложение пространства состояний L2{R3N) в тензорное произведение пространств L2(R3^), описывающих состояпия подсистем,-входящих в ak, 7 = 1, 2, ..., к:
^2(R3iV) = n®^(R3Z0. (1.7)
3=1
В соответствии с этим разложением определим оператор энергии разбиения как сумму операторов энергии подсистем:
(О
При этом каждое слагаемое в правой части действует нетривиально лишь в соответствующем пространстве состояний подсистемы и считается продолженным как единичный оператор на остальные сомножители в (1.7).
В дальнейшем мы будем часто иметь дело с подобной ситуацией, когда мы рассматриваем тензорное произведение и операторы, нетривиально действующие только в одном сомножителе. Мы всегда будем без дополнительных пояснений использовать одно и то ">ке обозначение для оператора в соответствующем сомножителе и для оператора, полученного из первого тривиальным продолжением.
Приведенные координаты. Сопоставим некоторой упорядоченной последовательности номеров частиц ки к2, .... ..., кн последовательность подсистем со2, со3, ..., о)*-1, со*, которые образуются поочередным присоединением частиц кг, к3, к частице ки т. е. ю2~= (ки к2), со3 = (ки
к2, к3) и т. д. Пусть у©у — координата центра инерции Подсистемы оу, массы т®^
1 І 5
ы3 г=1 г=1
и М^^+х "*"~ приведенная масса частицы по отношению к подсистеме со.,-,
^зЧ+i " тел.
18 ГЛ. т. общие положения теории рассеяния
«Л
оГ
$31,2
Рис. 4 Рис. 5
Система координат х2к, х2ь,3, х2ІЗ>1, отвечающая символу (2431) четырех тел, схематически представлена на рис. 5. Здесь .
^24 = (2^24)1/2(г2~г4),
С24,3 — (2(^24,з)
1/2 I т2Г2 + т4Г4
т2+ті
Через Ячо^-+1 обозначим приведенную координату частицы к]+1 относительно центра инерции подсистемы со.,,
= {2^Ч+1)1,2(У^ - гк.+1). (1.8')
Совокупность переменных х(.ь$к$+1 вместе с координатой центра инерции системы г/Ю]у = р определяют координаты точки конфигурационного пространства в новом ортогональном базисе, называемом базисом Якоби. Существует /V! различных базисов Якоби, отвечающих всевозможным перестановкам частиц. Мы условимся указывать порядок частиц, по отношению к которому вводится базис, в обозначении системы.
