Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
некоторой заданной энергии Е0, равно 2 (ft), помноженному на объем
области зоны Бриллюэна, заключенной под поверхностью Е = Е0:
Е"
Z (?")= 5 2 {Е) dE =¦ 5 2 (ft) dxk . (22.2)
?min E°
Интегрирование no ft можно разделить на интегрирование по энергии и на
интегрирование по поверхности постоянной энергии (некоторой зоны п):
J '22-3>
?minE = const
Из сравнения (22.2) с (22.3) следует для искомой плотности состояний
$ ^Urr)^ (22'4)
I ? = const 1 1 J
т-е. 2"(Е) задано, если известна зонная структура En(k) для данной полосы
энергий.
Энергетические зоны могут перекрываться. Это значит: состояние самой
высокой энергии п-й зоны может лежать выше, чем состояние самой низкой
энергии следующей, ("+ 1)-й зоны. В этом
100
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
случае состояния с равными энергиями складываются. Полная плотность
состояний тогда получается из (22.4) суммированием по п.
Это схематически изображено на рис. 27. Три зоны по энергиям следуют одна
за другой, зоны А и В перекрываются, тогда как между зонами В и С лежит
энергетическая область без разрешенных состояний (запрещенная зона).
Примеры для плотности состояний приведены дальше на рис. 35 и 38.
Рис. 27. Плотность состояний (схематически) для перекрывающихся зон и для
зон, разделенных запрещенной зоной.
С помощью плотности состояний и распределения Ферми (6.10) мы можем
определить распределение электронов в твердом теле n(E)dE. При Т = 0 все
состояния, лежащие ниже граничной энергии ЕР, будут заняты, все
вышележащие состояния будут свободны. При Т Ф 0 граница между занятыми и
свободными состояниями будет размыта.
Все полосы энергий, представляющие замкнутые электронные оболочки
единичных атомов (глубокие зоны), всегда целиком заполнены электронами.
За этими зонами следует зона, содержащая валентные электроны (валентная
зона). Для граничного состояния при 7" = 0 мы различаем два случая.
а) Валентная зона целиком заполнена валентными электронами. Между
самым высоким состоянием валентной зоны и самым глубоким состоянием
следующей, более высокой зоны -зоны проводимости- лежит запрещенная зона.
б) Валентная зона (или группа перекрывающихся валентных зон) не
полностью заполнена. За последним заполненным состоянием непосредственно
следует первое незаполненное состояние.
Из этого можно сразу же сделать следующие выводы об электрических
свойствах твердого тела. Так как заполненная зона не приводит к
проводимости, то в случае а) твердое тело ведет себя как изолятор, тогда
как в случае б) проявляет металлические свойства. Между этими двумя
граничными случаями расположен полупроводник. Он относится к случаю а).
Однако, в противоположность изоляторам, у него энергетический зазор между
валентной зоной и зоной проводимости'настолько мал, что термического
возбуждения достаточно, чтобы переводить электроны из валентной
§23]
СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ
101
зоны в зону проводимости. Иначе говоря, область, определяемая
распределением Ферми, в которой в заметном количестве существуют занятые
и свободные состояния по соседству друг с другом, больше, чем ширина
запрещенной зоны.
У металлов энергия Ферми лежит внутри зоны или многих перекрывающихся
между собой зон. При Т = 0, следовательно, поверхность Е = ЕР будет в
зоне Бриллюэна разделять занятые и свободные состояния (поверхность
Ферми). При Т ф0 форма поверхности Ферми также будет определять свойства
металла.
У полупроводников, у которых имеется только небольшое число электронов в
зоне проводимости и дырок в валентной зоне, нас будет интересовать зонная
структура вблизи экстремумов зоны проводимости и валентной зоны.
Для изоляторов на первом месте стоит изучение таких оптических явлений,
при которых электроны перебрасываются из более низкой в более высокую
зону. Для описания таких явлений (которые, конечно, важны и для
полупроводников и металлов) необходимо детально знать зонную структуру
многих зон.
§ 23. Зонная структура металлов. Поверхности Ферми
Мы выяснили значение зонной структуры для определения распределения
электронов в твердом теле по энергиям и их поведения во внешних полях.
После этого, в настоящем и следующем параграфах, мы приведем примеры
структуры функции Еп (ft) в металлах и полупроводниках (изоляторах).
Функция Е" (ft) - многозначная периодическая функция в ft-пространстве.
Период изменения определяется зоной Бриллюэна. Свойствами симметрии зоны
Бриллюэна определяются некоторые точки и линии внутри зоны и на ее
поверхности. Для обсуждения свойств твердого тела часто достаточно знать
зонную структуру в таких точках и вдоль таких линий. На рис. 28 показаны
их обозначения для зон Бриллюэна четырех важнейших точечных решеток.
В последних параграфах мы представили появление зонной структуры, а
следовательно и участков разрешенной и запрещенной энергий, следующих
друг за другом, с помощью брэгговского отражения. Последнее вырезает
отдельные области энергий из непрерывного спектра энергии свободных
