Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
аналогично тому как мы в § 18 сопоставили Я| = {Я|Я,} операторы Т
|а> f{r) = f ({а | а} г) = f (аг + а). (25.1)
Таким образом, в соответствии с (15.4), получим1)
5{<х | a) | b) = S{ctp | aft+aj. (25.2)
Оператор, обратный S{a|a>" равен Sfa|a> = S{a-i|_a-iaj, как это следует
из (15.3).
Аналогично (15.5),
S{a I а} Т a) f (?) = Т a-4ft / (г), (25.3)
или
ТR^{a | a} == | (25.4)
Учитывая, что скалярное произведение двух векторов не меняется, если оба
вектора подвергаются ортогональному преобразование (кak•/?*), получим
Т^а^Лк, f") - S{a | ajT'a-ify l|)" (k, Г) =
= 5{а|а}е ^i|)n(ft, г) = S{a | а> eiak ^т|)л (k, г) =
= ea*-*'S{ala}iMft, г). (25.5)
С другой стороны,
г) = tyn(ak, г). (25.6)
Сравнивая (25.5) с (25.6), мы видим, что функции S{a^ a}^., (ft,
г)
и aj)n(aft, г) являются собственными функциями оператора Т%
для одного и того же собственного значения exp(iak-Rt). Это
*) Мы исправили описки в оригинале при изложении материала от (25.2) до
(25.8). {Прим. ред.)
114
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
1ГЛ. IV
значит, что
г|:n(cck, г) = Я5{а | а} г]зл (ft, г), |^[2 = 1. (25.7)
В результате получим Еп (aft) = <г|>" (aft, г) | Я | г|>" (aft, г)> =
= <5(0; I а} г|)л (ft, Г) I Н | ^а} г|зп (ft, Г)> =
= <Ж(*. г)IЯI(й, r)> = ?"(ft). (25.8)
При переходе от второго равенства к третьему мы подвергли функцию и
гамильтониан матричного элемента ортогональному преобразованию а}
(относительно которого гамильтониан инвариантен).
Таким образом,
Еп{к) = Еп{ак). (25.9)
Этот важный результат показывает, что функция Еп(к) в зоне Бриллюэна
обладает полной симметрией точечной группы {а|0} и в том случае, когда
решетка не инвариантна по отношению к некоторым {сс | 0}. Здесь впервые
проявляется значение точечной группы решетки независимо от свойств
пространственной группы. Зона Бриллюэна, как отсюда видно, имеет тоже
полную симметрию точечной группы.
По (25.9) все векторы к' = aft приводят к одинаковым энергиям.
Совокупность всех векторов k' называют звездой ft. Если все к' = aft
являются различными ft-векторами, то ft обозначают как общую точку в зоне
Бриллюэна. В этом случае звезда ft имеет столько "зубцов", сколько
элементов содержит точечная группа.
Для дальнейшего рассмотрения важными являются точки симметрии и линии
симметрии в зоне Бриллюэна, которые инвариантны по отношению к {сь 10}.
Если, например, вектор ft инвариантен по отношению к п из g элементов
точечной группы, то его звезда имеет (g/n) зубцов.
На рис. 40 показаны две звезды для различных ft-векторов в зоне Бриллюэна
гексагональной точечной решетки. Для En(k) таким образом (в повторяющейся
зонной схеме) имеются следующие симметрии:
Рис. 40. Звезда двух ^-векторов в гексагональной точечной решетке.
En(k) = En(k + Km), En(k) = En(-k),
?n (*) = ?" МО-
(25.10)
(25.11)
(25.12)
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
П5
Теорема Крамерса (25.11) содержится в (25.12), если точечная группа
содержит инверсию I {Ik = -k), т. е. только у кристаллов с центром
инверсии. В противном случае (25.11) дает дополнительное утверждение,
которое, как будет видно из последующих соображений, называют также
симметрией, связанной с обращением времени.
§ 26. Неприводимые представления пространственных групп
Уравнения (25.10)-(25.12) содержат уже множество утверждений о свойствах
симметрии зонной структуры, в частности о форме поверхностей постоянной
энергии в зоне Бриллюэна. Наряду с качественными утверждениями они делают
возможным существенное упрощение проблемы количественного определения
структуры зоны. Они сводят область, в которой надо вычислять функцию
En(k), к части зоны Бриллюэна.
При этом возникают следующие вопросы:
1. Какой симметрией могут обладать волновые функции | nky и каково
вырождение энергетических термов Еп (k) при заданном k и заданной
симметрии решетки?
Ответом на этот вопрос является классификация собственных значений,
похожая на классификацию состояний в свободном атоме на s-, р-, d-, ...-
состояния.
2. Пусть задан вырожденный уровень энергии при заданном k. Остается ли
вырождение неизменным, если перейти к соседнему значению k-\-y,, или
уровень энергии при этом расщепляется?
Такая постановка вопроса аналогична вопросу о том, будет ли у атомной
системы заданной симметрии сниматься вырождение при включении возмущения
более низкой симметрии или останется прежним.
3. Пусть заданы два состояния при энергиях''/;,, (k) vCE"' (k').
Возможны ли переходы между этими двумя термами, связанными с матричным
элементом взаимодействия •Ck'\L\ky, или они запрещены из "соображений
симметрии"?
Для ответа на эти вопросы требуются некоторые сведения из теории групп,
специально о неприводимых представлениях" конечных групп. Мы рассмотрим
методы теории групп и их применения в физике твердого тела в Приложении
Б. В этом параграфе мы приведем только краткое резюме представлений,
наибо-лее важных для теории зонных" моделей. Для более глубокого
обсуждения ср. Приложение Б и приведенные в литературе работы'^-88].
