Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
f*" Представлением группы называется совокупность матриц D;k, которые
однозначно сопоставляются,гэлементам группы. Это означает: из АВ = С
следует D (A) D (В) - D (С). Сопоставление не
116
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
требует одно-однозначности; это значит, что D (М) D (N) - D (Р) не
требует MN = P.
С такими*представлениями мы уже встречались в § 18. Представление
трансляционной группы там "создавалось" с помощью "базиса" из f
вырожденных ортогональных собственных функций Мы видели, что с помощью
преобразования базисных функций получаются новые эквивалентные
представления. Среди них было отмечено одно представление, у которого все
матрицы содержали только диагональные элементы.
Представление называется приводимым, если оно, с помощью преобразований,
может быть переведено в другое эквивалентное представление, в котором все
матрицы принимают форму
Все матричные элементы, кроме "блоков" Dil), расположенных по диагонали,
должны быть нулями, В этом случае матрицы D{1) сами по себе образуют
также представления группы. Говорят: D разлагается в прямую сумму D =
Da)0D<2)0?><3)0 ... представлений меньшей размерности. D(l), которые
дальше не могут быть разложены, образуют неприводимые представления
группы.
Для представлений, построенных на базисе вырожденных собственных функций
это означает, что уравнение
f
АхS x=l...f, (26.1)
к'= I
может с помощью надлежащего выбора новых быть приведено к виду
f i
= Д г = 1... и, х, = 1 ...ft, ?!/, = /.
(26.2)
Совокупность f вырожденных базисных функций 1|эч расщепляется на п
отдельных совокупностей ijv,, так что операции А группы преобразуют в
линейные комбинации только По отношению к операциям группы,
следовательно, только i|jx. вырождены относительно друг друга.
Преобразование представления тран-сляционной"группы (18.5) и (18.8)
принтом способе"|выражения означает сведение представлений % к прямой
сумме одномерных
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
117
представлений Лхх. Возможность этого преобразования вытекает из некоторой
теоремы теории групп: абелева группа обладает только одномерными
неприводимыми представлениями.
Следовательно, для вопросов, поставленных в начале этого параграфа, важно
знать неприводимые представления группы свойств симметрии, которые
относятся к состоянию Еп {k) при заданном Ь. Для этого нам потребуется
ввести еще два понятия.
Под классом будем понимать все элементы А группы, которые получаются из
элемента А' с помощью произведения А = Х~1А'Х. При этом X должно
пробегать все элементы группы. Можно показать, что всякая группа может
быть однозначно'разложена на классы.
Под характером % матрицы представления понимают ее шпур, т. е. сумму всех
диагональных элементов %(Л)"= Все
матрицы одного класса имеют одинаковый шпур и, следовательно, одинаковый
характер.
Из теории групп следует:
1. Каждое приводимое представление с помощью преобразования может для
всех элементов А быть приведено к прямой сумме в форме
где DU) - неприводимые представления, п,-целые числа.
2. Каждая конечная группа порядка g (состоящая из g элементов) имеет
конечное число неприводимых представлений. Это число рчвно числу классов
этой"'группы.
3. Сумма квадратов^размерностей неприводимых представлений равна
порядку группы:
4. Для того чтобы представление было неприводимым, необходимо и
достаточно условие
5. Для характеров неприводимых представлений справедливы условия
ортогональности
?х?И)хаМ)=*в"э. Уг'АА)га(А') = {-ьАА; (26.5)
А а пА
где индексы а и обозначают различные представления одной группы и hA--
число элементов класса А.
Эти соотношения достаточны для определения числа неприводимых
представлений данной (конечной) группы, для получе-
D (Л) = (Л)0"2О"> (Л)0"3Г"<*> (Л)ф...,
(26.3)
а
(26.4)
118
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
ния всех характеров всех неприводимых представлений и для определения
свойств симметрии базисных функций, соответствующих неприводимому
представлению. Теперь, в принципе, могут быть получены ответы на все
вопросы, поставленные в начале этого параграфа.
Группа трансляционных операторов 7\{ (при циклических граничных условиях)
конечна и порядка N. Так как Т коммутативны, то ТЪ'ТцТо =Тр для
произвольных То . Каждый эле-
'm 'l xm V 1 "v/z
мент, следовательно, сам представляет собой класс. Имеется N классов и,
следовательно, также N неприводимых представлений. Вид этих представлений
легко установить, если принять во внимание, что вследствие Rt = 1гаг +
/2а2 + 13а3 справедливо и Т^ -
- TaJ'aJ'a,• Группа трансляций, следовательно, может рассматриваться как
произведение групп "трансляций в направлении а,".
где ft может принимать N = N1N2NS различных значений. Таким образом,
блоховский множитель exp (ik-Rt) есть не что иное, как неприводимое
представление группы трансляций.
Обратимся теперь к неприводимым представлениям пространственной группы.
Ограничимся, однако, при этом только самыми главными фактами, которые
понадобятся для общих утверждений.
