Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Интерпретация этого уравнения проста, если учесть, что электрон,
описанный уравнением Шредингера (16.1), есть квазичастица. Эта
квазичастица включила уже в свои свойства взаимодействие со статической
решеткой. Этот "кристаллический электрон" чувствует только действие
внешних сил и "силу" со стороны колебаний решетки, на которые он
реагирует иначе, чем свободный электрон.
En(k + x)-En (k) + ^tnpnn + ~ + ^; ?
т
(ФП)
Pnn=<Pn> = Ijr&a<ikE-,
(20.10)
90
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
Мы сопоставим друг с другом
Волновая функция
Собственное значение Е Ожидаемое значение импульса 1 д2Е дк ДА.
Свободный
электрон
gtftr
т
%k
т
Электрон в кристалле
Елоховская функция (18.12)
Зонная структура Еп (к) Уравнение (20.10)
Уравнение (20.11)
Уравнение (20.10) есть выражение для групповой скорости волнового пакета,
аналогичное тому, какое мы находили из уравнения (7.5) для свободного
электрона. В то же время уравнение
(20.10) в нашем случае заменяет уравнение де Бройля p = flk (p - h/X),
справедливое только для свободных электронов. Для электрона в кристалле k
уже не пропорционально ожидаемому значению импульса. Поэтому k (или %k) в
этом случае часто называют кристаллическим импульсом (квазиимпульс).
Соотношение (20.11) указывает на существенное различие динамики поведения
свободного электрона и электрона в кристалле. Так же как первая
производная энергии по волновому числу дает скорость электрона в
определенном состоянии, так вторая производная дает сведения об изменении
этого состояния. Для свободного электрона вторая производная дает
величину, обратную его инертной массе. Для блоховского электрона, в
который уже включено действие сил со стороны решетки, вместо 1/т входит
более сложное выражение (20.11).
В следующем параграфе мы увидим, что блоховский электрон будет так вести
себя в электрическом поле, как будто его масса определяется выражением
(20.11). Правая часть (20.11) имеет тензорный характер. Поэтому (20.11)
называют тензором эффективной массы.
Закончим этот параграф двумя замечаниями. В § 15 мы ввели циклические
граничные условия, чтобы сделать трансляционную группу конечной. Тогда
число различных Rt равно числу узлов решетки в основной области. Две
примитивные трансляции /?г и + в этом случае идентичны. Это, однако,
означает, что и
i!pn(k, r + Ntat) = ^n(k, г), т. е. совместно с (18.12) дает
е"-("¦+¦Niai) Un(k, r) = eikrun(k, г),
ИЛИ
zlNik-ai= i.
(20.12)
(20.13)
(20.14)
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
91
Если представить k как вектор обратной решетки: k = '?lxibi, то
Следовательно, имеется N - NtN2N3 различных значений для совокупности
{XjKjKg} и, следовательно, N различных k. Вектор k может в ft-
пространстве принимать только дискретные значения, и лишь в граничном
случае, при стремлении основной области к бесконечности, Еп(к) делается
непрерывной функцией от к. Так как основную область можно выбрать
произвольно большой, то и Еп(к) может аппроксимироваться непрерывной
функцией от переменной к с произвольной точностью. Тем не менее остается
существенным, что k ограничено N значениями
Это соотношение идентично соотношению (5.5) для свободных электронов, так
как из (20.17) вследствие (17.2) для компоненты kf следует: kj =
(rij/Nу.) bj=(nJ-/N/) (2n/aJ-)==(2n/L/) п; = уравнению (5.5). В
частности, здесь справедливо выражение (6.11) для плотности состояний z
(к) в ft-пространстве. К плотности состояний z (Е) мы еще вернемся через
один параграф.
Приведем еще один существенный результат. По теореме Блоха
Так как теорема Блоха определяет зависимость волновой функции от k, то
г];* (k, г) идентично г];* (- k, г). Далее, из-за вещественности
оператора Гамильтона (# = #*) функции t)j* (Л, г) и т|>(?, г) вырождены,
также вырождены и \]>(-к, г) и т|) (к, г); это значит также, что
Это важное утверждение носит название теоремы Крамерса.
027U N $%з) - J
Это выполняется, если к,- ограничены значениями
(20.15)
(20.16)
(20.17)
так же как
TRirn(k, г) = е-{*-я"^(Л, г), (20.18)
ТЧФЛ-*, г) = е-''-*'1М-*. г). (20.19)
E(k) = E(- k).
(20.20)
§ 21. Динамика электронов в кристалле
Аналогично тому как мы поступали в случае свободных электронов в § 7 и 8,
рассмотрим теперь уравнение Шредингера для электронов в кристалле при
включении электрического поля Е
92 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ [ГЛ. IV
и магнитного поля Н. Оператор Гамильтона, по (7.3) и (8.1), будет тогда
H-^(p + ^rA)' + V(r)^. (21.1)
Изменение функции Блоха, которая при ? = 0 находилась в состоянии k0 ('ф
= 'ф" (ku, г)), через малый интервал времени dt задается выражением
- - Н dt / ,• X
ty(k, г, dt) = e h Hpn(k0, r) = [l-jH dt)Hpn(k0, г). (21.2)
Мы ставим вопрос, описывает ли эта волновая функция также блоховское
состояние. Для этого подействуем оператором трансляции Т ц на г|5. Тогда
получим
T^ = TR(\-^Hdt)^n{K r)=(l-iffd/)7'A-
-jdt[Tk, Я]ф". (21.3)
Для коммутатора после некоторых промежуточных выкладок находим1)
[7V, Я] = (s ¦*+!?*;)
(21.4)
