Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
твердом теле, необходимо знание его зонной структуры.
Для наглядного описания движения электронов в кристалле метод эффективной
массы имеет ограниченное значение. Изменение ^-вектора электрона во
времени связано с непрерывным изменением его эффективной массы. Только в
случае, когда отступления зонной структуры от приближения свободных
электронов малы, получаются простые соотношения. Это часто имеет место, в
особенности вблизи экстремума энергии в зоне, где разложение функции Еп
(к) вблизи экстремальной точки может привести к квадратичной зависимости
Е ~ №. Тогда эффективная масса постоянна и движение электрона сходно с
движением свободного электрона. Этот граничный случай, чрезвычайно важный
для теории полупроводников, называется приближением эффективной массы.
Здесь оператор"^ (-tgrad) может быть заменен^ оператором вида (- &а/2т*)
А *).
Обратимся вновь к движению электрона в кристалле в электрическом поле.
Для этого рассмотрим электрон в зоне,153 изображенной на рис.г25. Пусть
минимум зоны лежит при Лг = 0 (точка Л).'В направлении компоненты ft-
вектора, параллельной электрическому полю, находятся точки В я В'
х) Обычно методом эффективной массы называют и тот случай, когда
эффективная масса является ие скаляром т*, а тензором та$ = (1/Й-2)
(d*En!dkadkfi)0 уравнения (20.11). В этом случае оператор Еп (-? grad)
может быть заменен
оператором (-&2/2) ^ (Vmap) {д/дха) {д/дхц)' (ПРим- Ред-)
Рис. 25. К динамике электрона в энергетической зоне. Вверху: простая зона
с минимумом в А, точками перегиба в W и W' и максимумами в В и В'. Кроме
того, изображена нижняя часть второй зоны с минимумами в С и С'. Точки В
и В', как и точки С и С', эквивалентны. Внизу: скорость электрона в
нижней зоне в зависимости от k (схематически).
96
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
верхнего края зоны энергии, расположенные на границе зоны Бриллюэна. Над
рассматриваемой зоной находится следующая зона с минимумами С,С'.
До включения электрического поля пусть электрон находится в состоянии (г
= 0 и имеет скорость г> = (l/^)gradA Е = 0. В электрическом поле ft-
вектор электрона пробегает состояния с возрастающим ft, пока в конце
концов не достигнет точки В. На протяжении этого пути его скорость
сначала возрастает, до точки перегиба W, и дальше падает снова, достигая
нуля в точке В. Это падение скорости, несмотря на ускорение, вызываемое
электрическим полем, конечно, означает, чго действие решетки в этой
области тормозит движение электрона сильнее, чем его ускоряет поле. В
конце концов в точке В взаимодействие с решеткой полностью останавливает
движение электрона (брэгговское отражение). Это влияние решетки
описывается с помощью эффективной массы, которая равна второй производной
энергии по k и выше точки перегиба - отрицательна! Но отрицательная
(инертная) масса как раз и означает торможение в ускоряющем поле.
Когда ft-вектор электрона достигает В, он покидает зону Бриллюэна. В
использованной нами схеме повторяющихся зон он попадает в соседнюю зону.
Так как функция Е (ft) периодична, то мы можем описывать электрон с
помощью эквивалентной ft-точки, которая, выйдя из точки В', движется в
точке А. Таким образом, изменение ft-вектора во времени мы можем
описывать как периодическое явление, при котором точка ft движется от В'
через А к В, дальше перескакивает в б' и т. д. При этом энергия электрона
колеблется между Е {А) и Е(В) = Е(В'). В геометрическом пространстве с
этим также связано колебание, так как { dE\
скорость v ( ~-jj(г) периодически меняет свои знак.
Такое колебание, конечно, никогда не наблюдается, так как электрон в
кристалле взаимодействует не только с внешними силами, но также и с
колебаниями решетки. Последние вызывают процессы изменения его энергии и
импульса (испускание фононов, ср. с гл. VIII), так что между двумя такими
процессами электрон пробегает только короткие отрезки по оси ft (рис.
25).
Тем не менее приведенное обсуждение существенно, так как в твердом теле
зона занята не одним электроном, а всегда заполнена большим числом
электронов. Как и в случае свободных электронов (рис. 6), сфера Ферми,
заполненная электронами, перемещается как целое в ft-пространстве. Так
как и скорость, и эффективная масса зависят от ft, то средняя скорость не
линейно растет с ft и эффективная масса не остается постоянной. Это
делается особенно заметным, если вычислять ток, переносимый электронами.
Рассмотрим сначала граничный случай целиком заполненной зоны, Все
состояния остаются занятыми электронами независимо
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
97
от изменения во времени всех ft-векторов. По теореме Крамерса (20.20) для
каждого состояния ft существует состояние -ft, поэтому средняя скорость
совокупности электронов остается равной нулю. Целиком заполненная зона не
дает вклада в электрический ток.
Этот результат одновременно означает, что сумма всех скоростей v(k) по
всем ft-состояниям в зоне равна нулю. Пусть теперь в зоне заняты
