Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Другое важное утверждение состоит в том, что соотношения коммутации имеют
одинаковый вид в обоих представлениях. Очевидно, это должно выполняться
для того, чтобы оба представления были физически эквивалентны друг другу.
Для примера положим, что величины /Is, Вs и Сs являются тремя
наблюдаемыми величинами, записанными в представлении Шредингера, а их
операторы удовлетворяют соотношению коммутации вида
[Hs,i?s] = iCs. (1.226)
Если умножить обе части этого равенства слева на оператор U+, а справа на
оператор U, то получим
U+ ASBSU - U+ BSASU = iU+ CSU
или, вставляя между операторами /Is и Bs тождественный оператор UU+ = 1,
получим равенство
(U+ ASU) {U+ BSU) - {U+ BSU) (U+ ASU) = iUACsU,
которое в силу определения (1.216) принимает вид
[4н(0.Ян(01 =iCn(t). (1.227)
Последнее соотношение имеет ту же самую форму, что и соотношение (1.226).
Коротко говоря, представление Гейзенберга и представление Шредингера
физически эквивалентны друг другу.
Если величина Ан является интегралом движения, то оператор этой величины
коммутирует с гамильтонианом. Собственные значения этого оператора
одинаковы в представлении Гейзенберга и в представлении Шредингера. В
этом случае часто говорят, что эти собственные значения являются
"хорошими" квантовыми числами.
1.16]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
99
Представление Гейзенберга весьма полезно для наглядной иллюстрации
формальной аналогии между квантовой системой и ее классическим аналогом.
Мы снова рассмотрим пример с частицей, движущейся в одном измерении, и
покажем, что в этом случае уравнение движения для гейзенберговского
оператора совпадает по форме с классическим уравнением движения
Гамильтона. Для систем, имеющих классический аналог, это соответствие
позволяет дополнительно проверить справедливость теории.
Рассмотрим гамильтониан (1.116), являющийся функцией от операторов
импульса р п координаты q. Так как с помощью соотношения (1.227) можно
показать, что формулы (1.120а) и (1.120Ь) справедливы и в представлении
Гейзенберга, то уравнения движения (1.218) для операторов Ан = qxi или А
и = рл имеют вид
dq" 1 дН т.
¦7д[?н,Ян0>н.?н)] = -^-,
dPr\ 1 , ЗЯгт
ST = ~Ш Ян ^н' ?н)] = -
(1.228)
так как
dqs/dt = 0 = dps/dt.
Уравнения (1.228) по форме совпадают с классическими уравнениями
Гамильтона
dq___ дН_ dp__ _ЭН .. -
dt - др ' dt - dq ' Щ.^У)
Если не касаться вопроса о порядке операторов в уравнениях (1.228), то
эти уравнения совпадают с соответствующими классическими уравнениями
(1.229).
В классической механике величина А, являющаяся функцией р, q и t,
удовлетворяет уравнению движения
100
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
в котором использованы уравнения Гамильтона (1.229). Определим
классические скобки Пуассона соотношением вида
d-231)
Тогда уравнение (1.230) примет вид
4г = <Л'Н> + ТГ- t1-232"
Сравнивая соотношения (1.232) и (1.218), мы видим, что можно перейти от
уравнений движения в классической механике к соответствующим уравнениям
движения в квантовой механике путем замены скобок Пуассона коммутатором
по формуле
{А,В)-*±г[А,В]. (1.233)
Можно показать, что алгебра коммутаторов и алгебра скобок Пуассона
одинаковы (см. в конце главы задачу 1.8). Все это дает основание к
введению в теорию квантовых постулатов (1.117). Если же система не имеет
никакого классического аналога, то правила квантования вида (1.117)
являются практически делом чистой интуиции. Единственный способ проверки
состоит в сравнении результатов теории с экспериментом (как это всегда и
бывает).
1.17. Представление взаимодействия
Кроме разобранных выше двух представлений существует еще одно
представление, которое оказывается особенно удобным в том случае, когда
гамильтониан системы может быть записан в виде суммы двух слагаемых в
форме*)
Н5 = Но + Яг. (1.234)
*) Здесь обычно II ^ - гамильтониан невзаимодействующих частиц, для
которых квантовомеханическую задачу можно решить точно, а член Н(r)
описывает взаимодействие между частицами. (Прим. перев.)
1.17]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
101
Это представление называется представлением взаимодействия, и оно
получается из представления Шредингера с помощью некоторого унитарного
преобразования
I ь (*)> = ut (t, *о)1Ы*)>, (1-235)
где индекс I означает, что данная величина рассматривается в
представлении взаимодействия. Оператор Uо (t, t0) удовлетворяет уравнению
iH*? = Hs0U0 (1.236)
и начальному условию
U0(t0, (о) = I (1.237)
(где I - оператор тождественного преобразования). Отсюда следует, что
оператор U0 (t, ta) является унитарным (см. стр. 91):
U+ (t, t0) = С/-1 (t, Q.
s s
Операторы H0 и Нг, как операторы наблюдаемых величин, по-прежнему
являются эрмитовыми.
При переходе от представления Шредингера к представлению взаимодействия
операторы преобразуются по формуле
Ai (t) = Ut it, t0) ASUо (t, t0). (1.238)
Легко показать, что эта формула приводит к следующему уравнению движения
для оператора Ai(t):
dAT т ЭЛ.
ih-^- = [AI,Hl] + ih-B±, (1.239)
