Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
может быть также названа волновой функцией для наблюдаемой величины L в
УН-представлении.
Теория измерений играет важную роль в приложениях квантовой механики к
измерению электромагнитных полей или детектированию сигналов в различных
системах связи. Более детально мы будем обсуждать эти проблемы в
следующих главах, а для более полного изучения теории измерений отошлем
читателя к книгам Неймана [9] и Бома [5]. Кроме того, все эти вопросы
тесно связаны с принципом неопределенности Гейзенберга, который мы
рассмотрим в следующем разделе.
1.13. Принцип неопределенности Гейзенберга
Пусть имеется ансамбль тождественных не взаимодействующих между собой
квантовых систем, находящихся в одном и том же состоянии |ф>. В одной
половине апсамб-ля мы измеряем только одну наблюдаемую величину А, а в
другой половине ансамбля - другую наблюдаемую величину В. Каждая половина
ансамбля имеет бесконечное число элементов. В этом случае измерение
наблюдаемых вецичин А и В называется одновременным, ибо перед началом
измерений состояние каждого элемента ансамбля было одинаковым.
Измерения наблюдаемой величины А на одном из элементов ансамбля дает одно
собственное значение этой наблюдаемой величины, равное, например, а;
после такого измерения этот элемент ансамбля "перескакивает" из состояния
|ф> в состояние |а>. Аналогично этому измерение наблюдаемой величины В на
другом элементе ансамбля дает собственное значение этой величины, равное,
например, Ь, и этот элемент ансамбля "перескакивает" в состояние |6>.
Вероятность того, что при однократном измерении величины А на одном
элементе ансамбля, находящемся в состоянии |ф>, мы получим величину а,
будет равна |(а |ф>|2, а вероятность того, что при таком измерении
величины В на другом элементе ансамбля мы получим величину Ъ, будет равна
|<6 |ф>|2.
1.13] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА 81
Квантовое среднее (среднее по ансамблю) значение величин А и В для
большого числа таких измерений равно
(А) = <ф \А |ф>, <?> = <ф |В |ф>, (1.173)
где |ф) = 1. Вообще говоря, при таком измерении величин А и В всегда
имеются отклонения от средних значений этих величин. Однако не надо
думать, что эти флуктуации являются обычными флуктуациями, обусловленными
несовершенством измеряющего прибора. Считается, что такой тип флуктуаций
отсутствует. Пусть
(А2) = |М2|ф>, <В2> = <ф |В2 |ф>. (1.174)
Тогда среднеквадратичные отклонения, или флуктуации, при измерении
величин А и В, имеющие квантовую природу, равны
<(ДА)2) = (А2) - (А)2, <(ДВ)2) = <В2) - (В)2.
(1.175)
Эти флуктуации будут равны нулю в том и только в том случае, когда
состояние системы является собственным состоянием величины А или величины
В или обеих вместе. Фактически именно этим способом и можно определять
собственное состояние какой-либо наблюдаемой величины: в собственном
состоянии системы каждое измерение соответствующей величины всегда дает
одно и то же собственное значение этой величины без каких бы то ни было
флуктуаций.
Теперь мы допустим, что операторы наблюдаемых величин А и В не
коммутируют друг с другом, и удовлетворяют условию коммутации
[А, В] = iC, (1.176)
где С - постоянная или оператор.
Можно показать, что в этом случае обе наблюдаемые величины А и В
не могут быть одновременно измерены с
любой степенью точности (т. е. без каких бы то ни было
флуктуаций) и что их среднеквадратичные отклонения удовлетворяют
неравенству
((ДА)2) <(ДВ)2) > ± | (С> |2, (1.177)
где
<С> = <ф|С|ф>. (1.178)
82
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Неравенство (1.177) является математическим выражением принципа
неопределенности Гейзенберга.
Прежде чем переходить к доказательству этого соотношения, обсудим вкратце
значение этого принципа. Если при измерении наблюдаемой величины А мы
получаем точное ее значение (т. е. без каких бы то ни было флуктуаций),
то вектор |ф> является собственным вектором наблюдаемой величины А. По
аналогии, если при измерении наблюдаемой величины В в состоянии | ф> мы
получаем точное значение этой величины, то вектор |ф> является также и
собственным вектором наблюдаемой величины В. Отсюда следует, что если мы
при одновременном измерении величин А и В получаем для них обеих точные
значения (т. е. для обеих получаем собственные значения), то
рассматриваемое состояние должно быть собственным состоянием одновременно
для А и В*). Последнее означает, что <(ДЛ)2> = <(Д5)2) = 0, откуда
благодаря принципу неопределенности (см. (1.177)) следует, что |<6'>| =
0. Это возможно только в том случае, когда С - 0, а в силу соотношений
(1.176) это означает, что операторы А и В коммутируют друг с другом.
Таким образом, если операторы двух наблюдаемых величин коммутируют, то
эти две наблюдаемые величины могут быть одновременно измерены с любой
степенью точности.
Если операторы А и В не коммутируют, а удовлетворяют равенству (1.176),
то среднеквадратичные флуктуации, называемые иногда неопределенностью
измерения, удовлетворяют условию (1.177).
