Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
. da dH .da* дН * /о /1л\
1-ж = шг* = ("а' = = (2Л°)
Изучаемый осциллятор имеет одну степень свободы и один нормальный тип
колебаний. Пирс называет переменную а (или а*) амплитудой нормального
типа колебаний [см. 11, 12]. Вернемся к квантовой трактовке осциллятора в
гейзенберговской картине. Согласно общей теории, изложенной в гл. I, с
переменными q, р ж Н связаны эрмитовы операторы. При этом
постулировалось, что one-
2.2] ОСЦИЛЛЯТОР В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 115
раторы q и р удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.117):
[q, р] = гП. (2.11)
Гамильтониан осциллятора имеет вид
Н = 4- (р2 + "V) = Я+. (2.12)
Все эти операторы рассматриваются в шредингеров-ском представлении и,
следовательно, не зависят явно от времени. Шредингеровское уравнение
движения (1.199) имеет вид
.п дцт = Я|тр(,"| (2.13)
и, в соответствии с (1.200) и (1.201), его решением будет | tys (*)> = U
(t, 0) | г|эн (0)> = охр ( - ^|г|зн(0)>, (2.14)
где U - унитарный оператор. Векторы состояний в шре-дингеровском и
гейзенберговском представлениях связаны между собой законом
преобразования (1.214). Операторы в обоих представлениях связаны между
собой преобразованием подобия (1.216), так что
7н (t) = U+(t, 0) qsU (t, 0), рн (t) = U+ (t, 0) psU (t, 0).
(2.15)
Как было показано в разделе 1.16, для консервативной системы гамильтониан
имеет один и тот же вид в обоих представлениях, т. е.
7/н = "2" ^н (0 + (r)2<?н(*)]- (2.16)
Следовательно, гейзенберговские уравнения движения согласно (1.228) имеют
вид
dq" ЭН
116
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
Единственная разница между этими уравнениями и классическими уравнениями
(2.2) - это операторный характер переменных qn и рц, которые
удовлетворяют равенству
[?н(*)> №(*)]-= гй. (2.18)
Решение системы (2.17), в соответствии с (2.5), имеет вид
7н (t) ~ U+ (t, 0) qsU (t, 0) = <7iS cos сot + sin сat,
(2.19)
Рн (t) = U+ (t, 0) ps?/ (f, 0) = - co<7s sin at + ps cos оit,
где qs и ps - операторы в шредингеровском представлении при t = 0.
Начальные условия в классическом смысле, которые были использованы в
соотношениях (2.5), теперь уже не имеют места. Так какоператор U (t, 0) =
= ехр [ - i (pi + о)2q2s) t!2h], то соотношения (2.19) показывают как
влияет перестановка U относительно qs и рд. В следующей главе мы дадим
другие методы вычисления U+qU и U+pU.
По аналогии с соотношением (2.7) мы теперь можем ввести два удобных
неэрмитовых оператора а и а+, определяемых соотношениями
а = (ш7 + а+ = - ip"> (2-20а)
у 2h(x> У 2Н(й
или
? = ]/^(а+Ч-а), p=iY^(a+-a). (2.20Ь)
По причинам, которые станут ясными впоследствии, оператор а называют
оператором уничтожения, а оператор а+ - оператором рождения.
Операторы а и а+, подобно операторам q и р, не коммутируют друг с другом.
Если соотношения (2.20а) подставить в формулы (2.11) и использовать то
обстоятельство, что всякий оператор коммутирует сам с собой, то получим
правило коммутации операторов а и а+:
[а, а+\ -- 1.
(2.21)
2.2] ОСЦИЛЛЯТОР В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 117
Подставляя формулы (2.20а) в выражение (2.12) для гамильтониана и
используя правило коммутации, получаем следующее выражение для
гамильтониана:
Н - - (дд+ -j- д+д) - Гм ^д+д + -|-j. (2.22)
Это выражение отличается от (2.9), так как операторы а и д+, в отличие от
своих классических аналогов, теперь не коммутируют друг с другом. Член
/ио / 2 называется нулевой энергией осциллятора.
В дальнейшем нам понадобятся следующие правила коммутации:
[д, д+д] = д, [д+, д+д] = - д+, (2.23)
которые легко вывести из соотношений коммутации (2.21).
Гейзенберговские уравнения (1.218) применимы как к эрмитовым, так и к
неэрмитовым операторам. Поэтому уравнения движения для дц {t) и Дн {t)
принимают вид с?ан 1
~df - = 1%- [ан> Нн] - - гюдщ
daH 1 г + тт л , • + (2-24)
ИГ = ~Ш [ан' Нн] = + шан'
При выводе этих уравнений мы использовали соотношения (2.22) и (2.23),
которые одинаково справедливы в шредин-геровском и гейзенберговском
представлениях. Решениями уравнений (2.24) являются выражения
дп (<) = U+ (t, 0) asU (t, 0) = а$е~ш, at (t) = U+ (t, 0) atU (t, 0) =
4V"',
(2.25)
для получения которых следует воспользоваться формулами (1.216). Оператор
V (t, 0) определяется соотношением
U {t, 0) = ехр (- mtatas) ехр , (2.26)
где as и д^ - операторы уничтожения и рождения в шре-дингеровском
представлении. В дальнейшем будем использовать для любого оператора О
обозначение О (t) для
118
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
его гейзенберговского представления и обозначение О для его
шредингеровского представления вместо индексов Н и S.
Эрмитов оператор а^~а встречается столь часто, что следует ввести
специальное обозначение:
N = a t-a = N+. (2.27)
Этот оператор называют оператором числа частиц. Происхождение этого
названия будет понятно из дальнейшего. С помощью оператора N соотношения
(2.23) можно записать в виде
Na = a (N - 1), (2.28а)
Na+ = а+ (N + 1). (2.28Ь)
Оператор N и гамильтониан Н связаны соотношением
