Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
(1.202) справа на Е/+, а обе части (1.206) - слева на U и вычтем одно из
другого, то получим
ih-±fUU+ = [Н, UU+\. (1.208)
Вообще говоря, величина d. (UU+)ldt отлична от пуля. Однако так как в
силу соотношения (1.203) U (t0, t0) = - 1, а значит, и U+ (t0, t0) - 1,
то в момент времени t~ = t0, UU+ - 1. Отсюда следует, что при
последовательном интегрировании обеих сторон уравнепия (1.208) методом
последовательных приближений можно показать, что UU+ = 1 для
любого момента времени t. Таким образом, оператор U унитарен, если
он удовлетворяет усло-
вию (1.203).
92
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. 1
Читатель, который незнаком с операторами, может предположить, что решение
уравнения Шредингера для неконсервативной системы может быть записано по
аналогии с решением (1.201) в виде
t
U {t, t0) = ехр - II (t')dt'/H^. (1.209)
to
To, что это не так, следует уже из того факта, что интеграл по времени от
оператора Н (t), вообще говоря, не коммутирует с оператором Н (t) (см.
задачи 1.5 и 1.6 в конце главы), хотя оператор Я (t) коммутирует сам с
собой в один и тот же момент времени.
Для того чтобы показать, что выражение (1.209) не является правильным
решением, получим формально выражение для оператора U (t, t0)
интегрированием уравнения (1.199) с помощью метода последовательных
приближений (метод итераций). Если мы умножим уравнение (1.199) на dt' и
проинтегрируем от t0 до t, то получим интегральное уравнение.
t
IФ (<)> = IФ (*")> - х \ Н V) IФ (0> dt'- (1-2Ю)
to
Подставим теперь в подынтегральное выражение величину IФ (ОХ полученную
заменой ( на f в уравнении (1.210), т. е. выражение вида
г
IФ (О) = IФ (<о)> - тг$я (О I ф (П> #'•
Тогда получим
t
|Ф(0> = IФ (^о)> - +
to
t V
+ )а 5 н (О dt' $я (Г) dt" I ф (Г)>.
Если повторить эту процедуру бесконечное число раз, то
1.15]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
93
приходим к следующему выражению:
i t
| $ (*)> = t1 - 4 §н V)dv + (^r )2 Sн (оdt' Sн V)dt"
in in to
|гИ*о)> = ^(Мо)Ж*о)>- (1-2И)
Выражение (1.211) дает формальное решение для функции U (t, 10), которое,
как нетрудно видеть, не согласуется с двумя первыми членами разложения
выражения (1.209), ибо в общем случае
t t t'
1 [- -f 5я <*') dt'T ^ (^r)21H {t">dr SH (r>dt"-
t0 to to
2!
В дальнейшем для некоторых консервативных систем специального вида мы
разработаем другие методы решения уравнения для оператора U.
1.15. Представление Шредингера в квантовой механике
До сих пор квантовая механика была развита нами в так называемом
представлении Шредингера. Рассмотрим в этом представлении движение
одномерной частицы. Ранее мы связали с наблюдаемыми величинами (р, q и Н)
соответствующие эрмитовы операторы, которые не зависели от времени.
Индекс S у оператора или вектора будет указывать теперь на то, что эти
операторы или векторы рассматриваются в представлении Шредингера, так что
мы запишем рs, qs и Нs. Собственные векторы этих операторов записываются
в виде |p')s, I q')s, |?'>s- Для представления операторов или векторов
состояния в качестве стационарных (не зависящих от времени) базисных
векторов могут быть выбраны любые из этих собственных векторов. В
шредингеровской картине собственные векторы состояний фактически
стационарны и ведут себя аналогично базисным векторам фиксированной
координатной системы в обычной геометрии. В некоторый определенный момент
времени любое состояние системы изображается в виде линейной суперпозиции
системы стационарных базисных векторов.
94
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
В шредингеровском представлении операторы подчиняются соотношениям
коммутации вида t?s> Ps] - ih и [gs, gsl = [ps, psl = 0.
Вектор состояния | фи (0) описывает динамическое поведение системы с
течением времени в представлении Шредингера. В соответствии с полученным
выше решением уравнения Шредингера вектор состояния с течением времени
непрерывно поворачивается от начального направления 1ф (<0)> в кет-
пространстве к конечному направлению | фй (<)) в момент времени I.
Если функция / (ps, qs) зависит от операторов ps и qs, то ее квантовое
среднее (по ансамблю) значение в момент времени t равно
<f(Ps,qs)> = OM*)l/(/*>?s)|iM0>- (1.212)
Если система в момент времени t0 находится в состоянии |ф(?0))" то в силу
(1.200) состояние этой системы в момент времени t определяется вектором |
фэ (0) = = U (t, t0) )ф(г0)). Вероятность того, что в некоторый момент
времени tx система будет находиться в некотором состоянии (и |, равна
I <и Ks (h)) |2 = I <и | U (tlt t0) | ф (<0)> I2- (1.213)
Это описание, в котором базисные векторы стационарны, а вектор |фэ(0)
динамического состояния системы поворачивается с течением времени в кет-
пространстве, и называется шредингеровским представлением квантовой
механики. Именно эта картина и использовалась до сих пор.
1.16. Представление Гейзепберга
В представлении Шредингера базисные векторы (т. е. любые собственные кет-
векторы наблюдаемых величин) изображаются в виде фиксированной
стационарной системы векторов, а вектор динамического состояния системы
