Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
откуда собственные значения оператора Н равны
Они непрерывны и принимают любое значение от 0 до + оо. Таким образом,
решение задачи на собственные значения энергии для свободной частицы
оказывается весьма простым. Следует отметить только, что два различных
собственных значения импульса -\-р'- и -р' дают одно и то же собственное
значение энергии Е, т. е. состояния I + Р',ЕУ и [ - р', Еу,
соответствующие' движению частицы направо и налево, имеют одинаковые
значения энергии. Это первый встретившийся нам пример вырождения в
квантовой системе.
Решение уравнения Шредингера
В координатном представлении волновая функция, зависящая от времени,
имеет вид
Н\ р', ЕУ = Е\ р', ЕУ.
(1.256)
(1.259)
благодаря соотношению (1.201) имеет вид
ф(г)> = ехр(-^.)|ф(0)>. (1.260)
фОЛ *) = <?'Ж*)> = <(?'! ехр (_^)|ф(0)>. (1.261)
106
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ I
С помощью соотношения полноты для собственных векторов | р'у последнее
равенство можно записать в виде
+ 0О
w>*)= J <(?' ехр(~?) р'Уар' <р' I^(0)>
+оо
'-ло
= ybiexp(-S)exp (^) <1-262)
где мы использовали выражение (1.148) для величины (q\p'y и приняли, что
<р'|ф(0)> = Ф(р', 0). (1.263)
Формула (1.262) дает выражение для волновой функции ф (с/, t) в
координатном представлении через начальную волновую функцию ф (р', 0) в
импульсном представлении.
Рассмотрим специальный случай волновой функции с минимальной
неопределенностью. Тогда в начальный момент времени функция ф(р', 0)
имеет вид (1.197). Изменение такого волнового пакета с течением времени
определяется формулой (1.262):
Ф (?'. t) = -1=------ гг X
' уТЬгЙ [2зт <(Д р)Ъ]и
X Т"Р [-{?+*?- т <"> O' - 0">- ]"/>'¦
- сс
(1.264)
Для простоты будем считать, что <р>(=0 = <7>f=0 = 0. Если заменить
У<(Др)2>г=о на ^/2 У<(Д<72)?=о> то, выполняя интегрирование, получим ф
(q',t) =
(2л)'/4(/<(Д?)2> -|- iht/2m V<(Д?)2>)'/г
ехр
4<(Д?)2>+2Ш/т (1.265)
1.19]
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
107
где
+оо
<(л<?)2> = К'И0)к2Ж0)>12== j 9,aIW.o)|W.
-оо
Если теперь вычислить среднее значение величины <д)( в любой момент
времени t, то с помощью формул (1.249) и (1.265) получим
+оо
<7>( = J |W,<) Г </'<*?' = 0. (1.266)
- оо
Иными словами, частица в среднем все время остается в точке q' = 0.
Однако среднеквадратичное отклонение частицы от точки q' в момент времени
t равно
-{-ОО
<"*>. = J I Ч> (¦/.<) IV W - <[Д?]->" + •
¦-оо
(1.267)
т. е. в момент времени t оно оказывается больше, чем среднеквадратичное
отклонение от положения q' - 0 в начальный момент времени t = 0. Волновой
пакет с течением времени расплывается в координатном пространстве. Причем
чем меньше флуктуация Y\(&q)2) в начальный момент времени t = 0, тем
быстрее происходит расплывание такого волнового пакета с течением
времени.
Из полученных нами выше формул (1.249) и (1.265) можно видеть также, что
среднее значение импульса такой частицы в любой момент времени t равно
нулю:
<P>"=+J !>*(?'. 9 ±^Adq' = 0. (1.268)
¦-оо
В то же время среднеквадратичное отклонение импульса от р' = 0 в момент
времени t остается без изменения и равно начальному среднеквадратичному
отклонению:
<р2>( = - (?',*) apj-W, W = 4 <[A^]2>f_0 =
= <P2)i=0. (1-269)
108
ДПРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Следовательно, произведение неопределенностей в момент времени t равно
Ьг
(1.270)
Таким образом, произведение неопределенностей, которое было минимальным в
начальный момент, с течением времени увеличивается. В дальнейшем мы
свяжем расплывание волнового пакета с нулевыми флуктуациями
электромагнитного поля.
ЗАДАЧИ
1.1. С помощью метода математической индукции еывости соотношения
коммутации (1.118).
1.2. Вычислить следующие коммутаторы:
a) [g, sin (p2g)], б) [q, sin (pqp)], с) [q, sin (gp2)],
если операторы p и q удовлетворяют соотношению [q, p] = ih.
1.3. Решить задачу о собственных значениях оператора р, Р I Р' > - р' I
р' >I в координатном представлении. (Указан и е: использовать соотношение
(1.159)).
1.4. Даны два произвольных кет-вектора | ср > и | % >. Показать, что они
удовлетворяют неравенству Шварца
I < Ч> I X > I 2 < < Ф I Ф > < X I X >•
Показать, что равенство выполняется в том и только в том слу-
чае, когда [ <р > = с | % >, где с - постоянное число.
1.5. Показать, что любая функция от эрмитова оператора вида
II (t) = р sinciH + geos at
t
коммутирует с II (t), по не коммутирует с j Н (t') dt', т. е.
о
t
j II(t')dt', Я (f)J=?0, если операторы g и р даны в представлении
Шредингера и удовлетворяют условию коммутации [д, р] = = ih. Можете ли вы
решить уравнение Шредингера вида
Г Э I ф ({)> 1 ih ----^------ = (р sin at -f- g cos at) | ф (t)y ?
1.6. Показать, что
j" H (t') dt', H (f)j = 0, если II (i) =- (p )
+ g) / (t), где / (г) - любая непрерывная функция времени, а операторы g
и р эрмитовы и удовлетворяют соотношению [д, р] = ih.
ЗАДАЧИ
109
Сопоставьте этот результат с результатом задачи 1.5 и решите уравнение
Шредцнгера (р + q) / (t) | ф (i)> = ih [d | ф (")> / 5/].
1.7. Пусть A s, Вs, Сs и Ds - наблюдаемые величины в представлении
