Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
N = -al,-Jr- <2-29>
Эти результаты указывают на глубокую аналогию между классической и
квантовой теориями осциллятора.
2.3. Задача о собственных значениях энергии осциллятора
Согласно физической интерпретации квантовой механики собственные значения
энергии являются теми величинами, которые получаются в экспериментах по
измерению энергии. Таким образом, для сравнения теории с экспериментом
необходимо решить уравнение
Н | Еу = Е | Я> (2.30)
и определить собственные значения Е оператора Н. Ввиду простой связи N и
Н, выражаемой соотношением (2.29), эта задача полностью эквивалентна
задаче о собственных значениях оператора N:
N | п'У = п' | п'у. (2.31)
Так как величины Н и N являются наблюдаемыми, то собственные векторы { |
п')} образуют полную ортогональную систему базисных векторов в iV-
представлении.
2.3] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРА 119
Для решения уравнения (2.31) напомним кратко решение задачи о собственных
значениях операторов координаты и импульса, изложенное в разделе 1.11.
Там был введен оператор смещения, который, действуя на известный
собственный кет-вектор { | п'у), образует другой собственный кет-вектор.
Покажем, что операторы а и а+ образуют новые собственные кет-векторы из
известного собственного кет-вектора, подобно тому как оператор смещения
преобразует собственные кет-векторы рид.
Будем предполагать, что кет-вектор | п'у есть известный собственный кет-
вектор оператора N с собственным значением п', который удовлетворяет
уравнению (2.31). Пусть теперь обе стороны операторного равенства (2.28а)
действуют на кет-вектор | п'у. Тогда с помощью уравнения (2.31) нетрудно
получить, что
N {а | п'у) = (п' - 1) {а | п'у}.
Аналогично этому из равенства (2.28Ь) получается соотношение
N {а+ | п'У} = (п' + 1) {а+ | п'у).
Эти равенства показывают, что если кет-вектор | п'у является собственным
кет-вектором оператора N с собственным значением п', то кет-вектор а \
п'у также является собственным кет-вектором того же оператора N, но с
собственным значением (п' - 1), а кет-вектор а+ \п'У-собственным кет-
вектором оператора N с собственным значением (п' + 1). Таким образом, из
собственного кет-вектора |п'У мы можем образовать еще два собственных
кет-вектора.
Этот процесс можно повторить дальше. Для этого достаточно применить
операторное равенство (2.28а) к кет-вектору а \ п'У и, используя
предыдущий результат, образовать новый кет-вектор а2 [ п'У с собственным
значением (п' - 2). Аналогично, применяя (2.28Ь) к кет-вектору а+ | п'у,
можно образовать кет-вектор а+ 2 | п'у с собственным значением (п' + 2).
Очевидно, этот процесс можно продолжать до бесконечности. В результате мы
можем из одного-единственного кет-вектора образовать бесконечную систему
кет-векторов и собственных
120
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
значений. Ее можно записать в виде
| п'у, а\п"), а? | п'у, ...,
п', п' - 1, п' - 2,
|н'>, а+\п'у, а+2\п'у, ...,
(2.32а)
(2.32Ь)
Заметим, что в этих последовательностях соседние собственные значения
отличаются на единицу.
Теперь мы покажем, что величина п может быть лишь целым положительным
числом или нулем.
Так как оператор N эрмитов, то из общей теории первой главы следует, что
величина п действительна и норма любого вектора состояния больше нуля или
равна нулю-Если норма равна нулю, то и сам вектор равен нулю. Таким
образом, для любого кет-вектора | п'у
ибо равенство | п'У = 0 тривиально. Умножим скалярно уравнение (2.31) на
<п |:
<п | У | п'У = (и'| а+ а | п'у = п\п' | п'у. (2.33)
Но это есть не что иное, как норма вектора а | п'у, которая должна быть
больше нуля или равна нулю. Так как (п | п'у 0 и | а+а | п'у > 0, то из
(2.33) следует, что п' 0. Таким образом, собственные значения оператора N
действительны и неотрицательны.Если п! = 0, то
ибо согласно (2.33) норма этого вектора равна нулю.
Если п' =j= 0, то норма вектора а \ п'у определяется соотношением (2.33).
Однако если п' не есть целое число, то собственные значения
последовательности (2.32а) могут стать отрицательными, так же как и нормы
соответствующих векторов состояний. А этого не должно быть. Единственный
способ избежать этого - разрешить числам п' принимать только целые
положительные или равные нулю значения. Таким образом, собственные
значения оператора N могут быть целыми положительными числами или равными
нулю.
Ы | п'у )> 0,
а | 0 > = 0,
(2.34)
2.3] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРА 121
С помощью условия (2.21) для нормы вектора а+ J п) получаем следующее
выражение:
(а | аа+ | п) - (п | (1 + а+а) | я> = (1 + п)(п | п).
(2.35)
Отсюда следует, что вектор а+1 п) никогда не обращается в нуль, так как
к>0и(" | п) )> 0.
До сих пор кет-векторы, образованные последовательным применением
операторов а и а+, не были еще нормированы. Это можно сделать следующим
образом. Так как вектор а | п) есть кет-вектор оператора N с собственным
значением (п - 1), то можно предположить, что вектор а | п) отличается от
