Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
будет {а, а2, 1 + а + сс2}- Такой базис, который дуален к самому себе,
называется автодуальным. Элемент а5 ? Fg можно однозначно представить в
виде а5 = = сга + с2а2 + Сз (1 + а + а2), где коэффициенты clt с2. нз р2
определяются равенствами
с\ - Тгр8(а*а5) - О,
с2 = Тгг?(ай-сс5) = 1,
% = Тг jpa ((1 + а а2) а5) = 1,
так что аъ = сс2 -f (1 ~f- а + а2). ?
Различных базнсов поля F над /С существует довольно много (см. упр.
2.37), по имеется два особенно важных типа базисов. Один - это так
называемый полиномиальный1) базис (1, сс, а2,
ат~[), образованный степенями образующего элемента а поля F (как простого
расширения поля /(). В качестве сс часто берется примитивный элемент поля
F (см. теорему 2.10). Другим важным типом базиса является нормальный
базис, определяемый некоторым подходящим образом выбранным элементом поля
F.
2.32. Определение. Пусть К ~ F? н F - Fgm. Тогда базис
поля F над К вида {сс, а9, ..., ссqm~l), состоящий нз подходящим образом
выбранного элемента сс ? F и сопряженных с ним относительно поля F
элементов, называется нормальным базисом поля F над К.
Базис {сс, а3, 1 + сс -f а2} поля Fg над р2, рассмотренный в примере
2.31, является нормальным базисом поля р8 над р2, так как 1 + сс + сс2 =
сс4. Покажем, что нормальный базис существует всегда. Доказательство
этого факта опирается на две леммы - одну о линейной независимости
групповых гомоморфизмов определенного вида и другую о линейных
отображениях.
2.33. Лемма (лемма Артина). Пусть ф1( ..., фт-различные гомоморфизмы
некоторой группы G в мультипликативную группу F* произвольного поля F и
аъ .... ат - элементы поля F, не все равные нулю. Тогда существует такой
элемент g группы G, что
Я1Ф1 (g). + -•* + "тФт (g) Ф 0.
*) Этот термин связан с тем фактом, что каждый элемент р ? F
представляется в этом базисе значением прн х = а некоторого многочлена
(х) € А [х] степени, не превышающей т - I. - Прим. перев.
80
Гл. 2. Строение конечных полей
Доказательство. Применим индукцию по т. Случай т - тривиален.
Предположим, что т > I и что утверждение спр ведливо для любых т - I
различных гомоморфизмов. Тепер возьмем указанные в лемме ф1( фт и аг,
..., ат. Если дц = 0, то предположение индукции сразу приводит к нужному
резул&1 тату. Поэтому пусть агФ 0. Допустим, что имеет место равенст]
(&)+••¦ + йтфт (g) = о для всех g ? G,
Так как ^ Ф фт, то существует h ? G, такой, что tyi (h) Ф ф Тогда,
заменяя g на hg в (2.5), получим
.Д/Ж
(2.Ш
т
ФУ
fliTi Ф) Ti (я)
" I "
ЯтФт (h) фт (g) ^ 0 ДЛЯ Всех g^G.
Умножая на фт (Л)-1, получим
*>lTl (g) + • ¦ • ~Г &т-хфт-1 (Я) ~Т~ атфт fe) ^ 0 Д*Я Всех g ? О,
где = а*ф/ (h) фт (Л)"1, 1 < i < m - I. Вычитая получение равенство из
(2.5), приходим к равенству
Cityi (g) + • • • + Cm-itm-i (g) = 0 для всех g?G,
где - ai - bit I < i < m - 1. Ho^ = ax - ^ф, (h) фт (/i)"1 0, так что
получаем противоречие с предположением инду^
№
л in
ции.
Напомним теперь некоторые понятия и факты из линейн алгебры. Пусть Т -
линейный оператор (линейное преобразоэ ние) в конечномерном векторном
пространстве V над (произволЦ иьш) полем /С. Будем говорить, что
многочлен / (х) - апхп ш ... + ахх -f а0 из кольца К fx] аннулирует
оператор Т, ее, апТп + ... + ахТ + аД - О, где / - тождественный, а О -
Н' левой операторы в пространстве V. Однозначно определенный ид|
мироваиный многочлен наименьшей степени, обладающий так свойством,
называется минимальным многочленом оператора Он делит любой другой
многочлен из К fx], аннулирующий Известно, что минимальный многочлен
оператора Т делит хар\ терис'тический многочлен g (х) этого оператора
(теорема Гамн. тоиа-Кэли), который задается равенством g (х) = del (х/ -
Т) и является нормированным многочленом степени, равной разм< ности
пространства V. Вектор а ? V назовем циклическим век ром оператора 7\
если совокупность векторов Tka, k ~ 0, 1,
*) Определипгемм det (Г) линейного оператора Т в конечномерном вектор
пространстве V над полем К называется определитель матрицы А этого от
тора в произвольном базнсе. Если В - матрица оператора Т в другом баз то
В ~ S"M5 для некоторой невырожденной матрицы S, так что det ("
= det (А). - Прим. перев.
§ 3. Следы, нормы н базисы
81
порождает пространство V. Приведем известный результат из линейной
алгебры.
2.34. Лемма. Пусть Т - линейный оператор в конечномерном векторном
пространстве V. Оператор Т обладает циклическим вектором в том и только
том случае, если его характе ристиче-ский многочлен совпадает с
минимальным.
2.35. Теорема (теорема о нормальном базисе). Для каждого конечного поля К
и каждого его конечного расширения F существует нормальный базис поля F
над Д.
Доказательство. Пусть Д - и F - Fgm, т ^ 2. Из теоремы 2.21 и следующих
за ней замечаний известно, что автоморфизмы поля F над К исчерпываются
различными автоморфизмами г, сг, сг2, ..., о"*-1, где е - тождественный
автоморфизм поля F, а (а) = aq для любого а ? F, а о/ означает /-кратную
