Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Щ
Л
&
хл
г-
Следовательно, поле Fe можио представить так:
Г9 - (О, /, 2/, А, / 4- А, 2/ + Л, 2Л, / + 2Л, 2/ + 2Л).
Или, в явном виде,
0 0\ /10
2 0
0 2
>
Я
• & .•••о
*
>s.*
§ 6. Теорема Веддербёриа
91
,1 2\ /2 2\ /О 1
/ + Л=1| (j, 2/ + i4 = ^j 2J, 2А = ^2 0
' 1-м-(! !)• " + "-(г J
Если поле IF" задано таким образом, то вычисления в этом поле проводятся
по обычным правилам алгебры матриц. Например,
(21 + Л)(1 + 2Л) = {\ 1)(\ |) = ((r) 1q)=2A. ?
Аналогичным образом и метод, основанный на разложении кругового
многочлена Qe-1 на неприводимые сомножители в jFp [jtl, можно
приспособить для того, чтобы он давал представление элементов поля jpg
матрицами.
2.54. Пример. Как и в примере 2.52, пусть h (х) = х% -j- Jt-f + 2 (j jF3
lx] - неприводимый делитель кругового многочлена Qb € F3 [jc ].
Сопровождающей матрицей многочлена h является матрица
/О 1
Ml 2
Поле Fe может быть представлено следующим образом:
Fe = {О, С, С\ С\ С\ С6, С6, С7, С8},
" 0-(° Ч С-(° М с-С 2
\ О 0 j ' \ 1 2 Г \ 2 2
/ 2 2 \ / 2 0\ /02
СЗ-(2 о)' <Мо 2)- 1
"М! !)¦ ^-(l ")¦ v-io °
Вычисления проводятся по правилам алгебры матриц. Например,
+ С = ]) + {0г IWo ?
11/ \ 1 2/ \ 2 0
§ 6. Теорема Веддербёрна *)
Все результаты, полученные для конечных полей, справедливы также и для
любых конечных тел в силу известной теоремы
*) Этот параграф может быть опущеи без ущерба для понимания последу кнцих
глав.
92
Гл. 2. Строение конечных полей
г
i
Веддербёрна. Эта теорема утверждает, что если конечное кольцо обладает
всеми свойствами поля, кроме коммутативности умножения (т. е. если это
кольцо является телом), то умножение в нем должно также быть
коммутативным. Мы приведем два доказательства этой важной теоремы. В
первом из них, рассматривая какое-либо подполе конечного тела, мы
установим сначала одно числовое соотношение, связывающее
мультипликативную группу этого поля с мультипликативной группой всего
тела. Используя затем это соотношение и некоторые сведения о круговых
многочленах, мы придем к противоречию, если только исходное тело не
совпадает с рассматриваемым полем. Прежде чем перейти к детальному
доказательству теоремы Веддербёрна, отметим несколько общих соображений,
которые мы будем использовать.
Пусть D - некоторое тело и F - его коммутативное подтело (будем в
дальнейшем называть F подполем тела D). Тогда D можно рассматривать как
(левое) векторное пространство над полем F (аналогичная ситуация для
полей была рассмотрена в § 4 гл. 1). Если F - iF5 и тело D имеет конечную
размерность п над F, то D состоит из qn элементов. Для мультипликативной
группы ненулевых элементов тела D примем обозначение D*.
Пусть G - некоторая группа и S - ее непустое подмножество. Выше было
введено понятие нормализатора N (Ь) элемента b ? G G в группе G (см,
определение 1.24). Из теоремы 1.25 следует, что если G - конечная группа,
то число элементов в классе сопряженных с Ь элементов группы G равно
индексу |G|/| N (?>)| нормализатора N (Ь) в группе G,
2.55. Теорема (теорема Веддербёрна), Каждое конечное тело является полем.
N""
4!
.*<!
х!!
.Д
I
Л
S
V:
№
*<2
*¦
i
• t;
'.'г? . V
17%
'¦й
Первое доказательство. Пусть D - конечное тело и Z - {г (j D \zd - dz для
любого d (j D} - его центр. Нетрудно проверить, что Z - поле. Тогда Z -
Fg, где q - некоторая степень простого числа. Так как тело D является
векторным простран ством над Z некоторой конечной размерности п, то D
состоит нз q* элементов. Покажем, что D = Z, т. е. что п - 1.
Предположим противное, т. е. что п > 1. Пусть а ? D Ш ~ {Ь ? D\ab - ba).
Тогда Ма - тело, содержащее Zt и потому состоит из qr элементов, где 1 <
г < п. Покажем, что число г делит п. Поскольку Ма - подгруппа группы D*,
то число qr - I делит qn - 1. Если п = rm + U где 0 < t < г, то qn - - 1
= <fm(f - 1 - q{ (qrm - 1)+ {q* - 1). Поскольку число qr t- 1 делит как
qn - 1, так и qrm - 1, то оно делит также и qf - 1. Но (f -1 < (f 1* а
значит, t - 0. Отсюда получаем, что число г делит п.
Рассмотрим теперь уравнение классов сопряженности дл| группы D* (см.
теорему 1,27). Центром D* является группа
-Й
У"
§ 6. Теорема Веддербёриа
93
порядка q - 1. Если а ? D*, то Ма - нормализатор элемента а в группе D*.
Поэтому любой класс сопряженности группы ?>*, содержащий более одного
элемента, состоит из (qn - 1 )i(qr - 1) элементов, где г - некоторый
собственный делитель числа п, I < г < п. Значит, уравнение классов
сопряженности имеет вид
<Г-1=Ч- 1 + У-^т-. (2.7)
a i 1
1=1 Я 1
где ги .rk - собственные делители числа п (не обязательно различные),
причем 1 < rt < /г, 1 < г с к.
Рассмотрим я-круговой многочлен Qn над полем рациональных чисел. В силу
теоремы 2.45 (ii) Qn (q) - целое число. Согласно
лемме 2.50, число Qn (q) делит {qn - 1 )Hjfl - l) при любом lt I < i < k.
Поэтому из (2.7) получаем, что число Qn (q) делит q- 1. Однако это
приводит к противоречию. Действительно, по определению
П
Qn (х) = П (* - С).
