Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
уП _ 1
= {х* - 1)
'т
ж
Ж
I
х
я
I
- 1
Поскольку d - собственный делитель числа п, то многочлены Qn (х) н xd - 1
не имеют (согласно той же теореме) общих корней, и, следовательно, НОД
(Qn (х), Xе* - 1) = 1, что доказывает наше' утверждение. ?
т.
W
Т:ш
§ 5. Представление элементов конечных полей
В этом параграфе мы опишем три разных способа представле ния элементов
конечного поля Fa из q = рп элементов, где характеристика Fg.
Первый способ основан на принципах, изложенных в § гл. 1 и в данной
главе. Заметим, что в силу теоремы 2.10 поле является простым
алгебраическим расширением простого поля Действительно, если f -
неприводимый многочлен степени из [х], то по теореме 2.14 любой корень а
этого многочлен принадлежит полю Fpn - Fg" и потому Fg = ?р (а). Знач
ввиду теоремы 1.86 каждый элемент поля Fg можно однознач" представить в
виде значения некоторого многочлена от х над степени, не превосходящей п-
1, при х = а. Мы можем так рассматривать поле Fa как факторкольцо FP
\x]f(f). g
2.51. Пример. Чтобы представить таким способом элемен поля F&, будем
рассматривать F9 как простое алгебраическ расширение степени 2 поля
получаемое присоединение корня а неприводимого квадратного многочлена над
F3, скаж f (х) = х2 ф 1 ? F3 1*1. Тогда f (а) a2 1 - 0 в F", и вять
элементов поля р" можно задать в виде а0 4- % а, где
Й
ш
НУ)
щ
§ 5. Представление элементов конечных полей
89
€ Рз< Точнее, Fs = {0, 1, 2, а, 1 + а, 2 + а, 2а, 1 -f 2а, 2 -f 2а}.
Таблицы операций для F& можно построить так же, как и в примере 1.62,
причем корень а играет здесь ту же роль, какую там играл класс вычетов
[х]. П
Другую возможность представления элементов поля дает применение теорем
2.47 и 2.49. Поскольку поле Fa является {q - 1)-круговым полем над Fp, мы
можем построить его, найдя разложение {q- 1)-кругового многочлена Qq_t ?
Fp [х] на неприводимые сомножители в Fp [х] (все они имеют одну и ту же
степень). Любой корень каждого из этих многочленов тогда является
первообразным корнем (q - 1)-й степени из единицы над jpp, а значит, и
примитивным элементом поля Fr Таким образом, поле состоит из нуля и
степеней этого примитивного элемента.
2,52. Пример. Чтобы применить этот способ для построения поля Fs,
заметим, что F9 = F38\ т. е. поле F9 является 8-круго-вым полем над Fs-
Далее, следуя примеру 2.46, получаем, что QB (х) = х* + 1 ? Fs 1х].
Разложение многочлена QB на неприводимые сомножители в Fa выглядит так:
Qs (х) = (х2 + х 4- 2) (х2 + 2х f 2).
Пусть ? - корень многочлена х2 ¦+ х + 2; тогда он является первообразным
корнем 8-й степени из единицы над Fs- Поскольку Fs =
F3 (?), то каждый ненулевой элемент поля F" можно представить подходящей
степенью элемента ?, так что Fs - {0, ?" ?2, ?8, ?*, ?\ ?6, ?7, ?8} *).
Мы можем свести ненулевые элементы поля F& в так называемую таблицу
индексов, в которой указывается значение степени ?*, соответствующее
показателю i. Для установления связи с предыдущим представлением (пример
2.51) заметим, что корнем многочлена х2 -J- х -f 2 ? Fs Ijc 1 является
элемент ? ~ I + а, где а2 -f- 1 = 0 (т. е. а - корень многочлена х2 -f 1,
как и в примере 2.51). Поэтому таблица индексов для поля Fe имеет
следующий вид:
W 1 V т i V
1 1 -f а 5 2 + 2а
2 2а 6 а
3 1 -f 2а 7 2-fa
4 2 8 1
- 1, т-;.;.;.u_rir
9 Иногда при таком представлении элементов поля Fg (в виде нуля н
степеней примитивного элемента ?) для удобства вводят формальный символ
*, такой, что ?* --- 0, Тогда произвольный элемент {5 поля представляется
в виде
ь , где Ъ - либо символ *, либо вычет по модулю q - L Это удобно для
вычислений. - Прим. перев.
90
Гл. 2, Строение конечных полей
Из таблицы видно, что мы получаем, конечно, те же самые элементы, что и в
примере 2.51, только в другом порядке. ? Третий способ представления
элементов конечного поля Ff осуществляется с помощью матриц. Пусть f (х)
= а$ + йхх -f - ...+ -f хп - нормированный миогочлен
положительной
степени п над некоторым полем (не обязательно конечным). Его
сопровождающей матрицей называется следующая квадратная матрица порядка
п:
А
0 0 0 ... 0 -ай
1 0 0 ... 0 -аг
0 I 0 ... 0 -а2
0 0 0 ... 1 ""л-
Из линейной алгебры известно, что матрица А удовлетворяет уравнению / (Л)
= О, где f (Л) - "значение" миогочлеиа f (х) при х = А (будем называть
его многочленом от матрицы л), т. е.
а0/ а\А -|- ... -j- ал_\Ап * -|~ Лп - О,
где / - единичная, а О - нулевая квадратные матрицы по* рядка п.
Таким образом, если Л - сопровождающая матрица нормированного
неприводимого миогочлеиа / степени п ? N иад простым конечным полем Fp,
то / (А) - О, и потому матрица Л может играть роль "кория" многочлена /.
Отсюда следует, что эле^| меиты поля FPn представляются всевозможными
многочленам# над от матрицы Л степеней, меньших п J
2.53, Пример. Как и в примере 2.51, пусть задай многочлен! f (х) = х2 4-
1 ё IFa 1*1* Сопровождающей матрицей этого многочлена является матрица
:'Ч
Ъ $
