Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Согласно теореме 2.6, эти отношения включения равносильны отношениям
делимости соответствующих делителей числа 30. ?
Для конечного поля Тд мы будем через р* обозначать мультипликативную
группу его ненулевых элементов. Следующий результат устанавливает одно
важное свойство этой группы. "
2.8. Теорема. Мультипликативная группа FJ ненулевых элементов
произвольного конечного поля Fg циклическая.
Доказательство. Можно предположить, что q ^ 3. Пусть h -
~ р[1 ... р|(tm) - разложение порядка h = q - I группы FJ на
простые сомножители. Для каждого ?, \ < i < m, многочлен
xh'pi - 1 имеет не более А/р? корней в поле fg. Поскольку hipt < < /г, то
в поле рд имеются ненулевые элементы, не являющиеся корнями этого
многочлена. Пусть a-t - такой элемент; положим
Чр } рг/
hi = at . Тогда bt == 1, откуда следует, что порядок эле-
мента bi является делителем числа pi и, значит, имеет вид рД где 0 <; St
< rt. С другой стороны,
так что порядок элемента равен pi . Покажем теперь,'что элемент Ь ~ ЬгЬг
... Ьт имеет порядок А. Допустим, что это не так и что порядок элемента Ъ
является собственным делителем числа h, а значит, делителем по крайней
мере одного из т целых чисел h-Рь 1 < i < скажем hipt. Тогда
делить число hipu & это невозможно, так как он равен р^. Итак, IFJ -
циклическая группа с образующим элементом Ь, П
2.9. Определение. Образующий элемент циклической группы fj называется
примитивным элементом поля Fg.
70
Гл. 2. Строение конечных полей
т
..0
Из теоремы 1.15 (v) следует, что поле Fg содержит ф (# - I примитивных
элементов, где ф - функция Эйлера. Наличие в любом конечном поле
примитивных элементов можно восполь! зоваться, например, для
доказательства того факта, что кажд конечное ноле является простым
алгебраическим расширение^ своего простого подполя.
2.10. Теорема. Пусть Fg- конечное поле и ?г- его конеч нов расширение.
Тогда ?г является простым алгебраическим, рай ширением, поля Fg, причем,
образующим, элементом, этого про стого расширения может служить любой
примитивный элеменЩ поля §>.
I#4-
' •Ч|*
II
Доказательство. Пусть ?, - любой примитивный элемент по| ля ?г. Тогда
очевидно, что Fg (С) s Fr. С другой стороны" поле Fg (?) содержит 0 и все
степени элемента t, а значит, вс элементы поля Fr. Следовательно, Fg (?)
= Fr-
2.11. Следствие. Для каждого конечного поля F0 и
q
натурального числа п в кольце Fg 1*1 существует неприводимый| многочлен
степени п. А
Доказательство. Пусть Fr - расширение поля Fg порядка#1* так что [fr :
Fgl ~ п. Согласно теореме 2Л0, существует
элемент ? С F,, чт0 Fr - Fg (?)• Но тогда в соответствии с ремами 1.82
(i) и 1.86 (ii) минимальный многочлен элемента над Fg является
неприводимым многочленом степени п в коль Fg Ы.
' ,$• 1ST-
§ 2. Корни неприводимых многочленов
. и.*,.
В этом параграфе мы исследуем вопрос о множестве корне неприводимого
многочлена над конечным полем.
2.12. Лемма. Пусть f С Fg Lt 1- неприводимый многочл над конечным, полем,
Fg" w пусть а - корень этого многочле, в некотором, расширении поля Fq.
Тогда для многочлена h С Fg ЕЙ равенство h (а) = 0 выполняется в том, и
только том, случ если многочлен / делит h.
Доказательство. Пусть а - старший коэффициент многочл на f. Положим g (х)
= а-1/ (*). Тогда g-нормированный н приводимый многочлен нз Fg 1*1,
причем g (а) - 0, а знач g - минимальный многочлен элемента а над Fg в
смысле опр деления 1.81. Остальное вытекает из теоремы 1.82 (ii).
2J3. Лемма. Пусть / ? Fg 1*3- неприводимый много>
степени т над Fg ¦ Тогда f (х) делит многочлен хРп - х в и только том,
случае, если число т делит п.
ш
§ 2. Корин неприводимых многочленов 71
Доказательство. Допустим, что многочлен /¦ (х) делит х9* - х. Пусть а -
некоторый корень многочлена f в поле разложения
этого многочлена над Fg. Тогда а<?п - а, так что а ? (р п.
Значит, простое расширение (а) поля fq является подполем поля Но так
как [Fg (а) : Fg] = т и [Fgft : Fg] ~ /г,
то из теоремы 1.84 следует, что число т делит п.
Обратно, если т делит /г, то из теоремы 2.6 следует, что поле содержит f
qm в качестве подполя. Если а - некоторый
корень многочлена / в поле разложения этого многочлена иад Fgi то IFq (а)
: Fgl = m, так что Fg (а) = F "¦ Следовательно,
а значит, ~ а н, таким образом, а - корень много-
члена х*п- х С Fg [х]. Тогда в соответствии с леммой 2.12 мы заключаем,
что f (дс) делит многочлен х?п - х. ?
2.14. Теорема. Если f С F? U1 - неприводимый многочлен степени гт, то в
поле Fgm .содержится любой корень а многочлена f. Более того, все корни
многочлена f просты и ими являются т различных элементов а, off, а?2,
а$т-1 поля Fgm"
Доказательство. Пусть а - произвольный корень многочлена f в поле
разложения этого многочлена над Fg. Тогда \Yq (а) : Fg 1 = m, так что (а)
= f т, и, в частности, а С
(: f gm* Покажем теперь, что если р С - какой-нибудь
корень многочлена /, то Р? - тоже корень этого многочлена. Пусть /
записан в виде f (я) - атхт + ... 4- агх + а<ь где а* С С Fg* 0 < i < т.
