Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
условие. Когда расстояние между источником и наблюдателем уменьшается
точно со скоростью с0, все звуки (гласные и согласные) (будут слышны
вмеоте как один хлонок ("удар").
I
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
245
Это условие выполняется для источника, движущегося вдоль прямолинейной
траектории с постоянной скоростью U > са и неподвижного наблюдателя, не
находящегося на этой траектории, когда угол 0 между траекторией и прямым
лучом, соединяющим источник и наблюдателя, принимает значение (279);
тогда составляющая скорости источника V cos 0 по направлению к
наблюдателю равна с0. Это позволяет "удару" распространяться вдоль
указанного луча.
Закон, определяющий лучи как прямые, составляющие угол (279) с
траекторией источника, на самом деле всего лишь частный случай общего
подхода к лучам, как к траекториям, отвечающим минимальному времени;
момент, в который излученные сигналы достигают наблюдателя, становится
все более и более ранним, пока расстояние от источника до наблюдателя
уменьшается со скоростью, превышающей с0, но начинает становиться все
более поздним для сигналов, излученных после того, как скорость
уменьшения расстояния становится меньше с0. Если эта скорость в точности
равна с0, то сигналы, излученные под углом (279), усиливают друг друга,
потому что в том месте, где находится наблюдатель, они удовлетворяют
условию стационарной фазы.
Заметим, что лучи, испущенные в каждый момент времени, заполняют
раскрытый вперед конус с полууглом (279), имеющий своей осью траекторию
источника. Лучи всех таких конусов (каждый из которых соответствует
некоторому моменту времени) заполняют все пространство; где бы ни был
наблюдатель, он должен быть на одном таком луче. Этот луч и все близкие к
нему лучи образуют "трубку лучей", площадь поперечного сечения которой А0
увеличивается линейно, прямо пропорционально расстоянию от траектории
источника. Это означает, что в уравнении (270) / = 0; отсюда следует, что
в однородной атмосфере интенсивность звукового удара падает обратно
пропорционально расстоянию в степени три четверти, как в уравнении (274).
При проектировании сверхзвукового самолета для оценки интенсивности
сверхзвукового удара на уровне земли важно учитывать большое различие
между относительно высокой невозмущенной плотностью р0 вблизи земли и ее
существенно меньшими значениями на тех высотах, где полет со
сверхзвуковыми скоростями может быть экономичным. Это различие
значительно уменьшает интенсивность удара на уровне земли, что уже
учитывается в формуле (272) при помощи множителя в квадратных скобках.
Вкратце покажем, как этот эффект можно количественно оценить в случае
полета с постоянной скоростью по прямолинейной
246
2, Одномерные волны в жидкостях
траектории на высоте х = h. Для лучей в плоскости, проходящей через эту
траекторию и составляющей угол ф с вертикалью, направленной вниз, высота
точки, находящейся на расстоянии г вдоль луча, равна
z - h - г sin 0 cos ф, (280)
где 0 - угол (279) между лучом и траекторией. Атмосфера с постоянной
скоростью звука с0 удовлетворяет уравнению
-ё'Ро = dpjdz = y-^ldpjdz, (281)
что дает
Ро exp (ygc"2z) = const. (282)
Таким образом, с помощью (280) получаем
PoM/po(r0) = exp [ygc-* (г - г0) sin 0 cos ф]. (283)
Если г0 в этом выражении является начальным значением г в дальнем поле
источников, так что при г > г0 применима геометрическая акустика, то при
площади сечения трубки лучей, пропорциональной г, можно заменить
уравнение (270) на
А0(г)/А0(г0) = г/г0. (284)
После этих подстановок уравнение (271), где х = г - г0, дает следующее
выражение для асимптотической продолжительности фазы сжатия импульса,
созданного самолетом:
Г
h ~ {(7 + !) # 1 [ exp [ -jygc(г -r0) sin 0 cos ф] X
7*0
X r~lf2 dr}i/2 j с0. (285)
Здесь
Hl = ri0/2H=,rio,2(^udt)r^ (286)
а эта величина в дальнем поле, согласно линейной теории, не зависит от
точного выбора г0; действительно, изменение г|/ги описывается, как на
рис. 1, кривой, пропорциональной производной порядка 1/2 от массового
расхода (который здесь обусловлен тем, что воздух "расталкивается" в
стороны передней частью самолета и засасывается обратно у его хвоста), а
Нг - площадь положительного участка этой кривой.
Значение (285) на уровне земли, когда входящая в эту формулу экспонента
обычно уменьшается до 0,3, близко к значению, полученному заменой
верхнего предела интегрирования на оо. Заметим также, что радиус г0 может
быть заменен в этом
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
247
интеграле на 0 с небольшой потерей точности, потому что величина gc~2r0
мала по сравнению с 1. С учетом этих двух упрощений получаем
tp~ [(у + 1 )Н1/с0]1/2 [2n/(ygsin0 cos^)]1/4. (287)
Вводя второе упрощение также и в (272), получим на уровне земли (где г
sin 0 cosa|) = h)
Р ~ 2у ехр ( - l-ygfc/cg) [HJ ((у + 1) с0/г)]|1/2 х
X [у# (sin3 0 cos3 ф)/ (2я)]1/4 (288)
- асимптотическую величину интенсивности ударной волны, которая бежит
