Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
изменяется линейно от р0(ж)Р Д° 0 за время tp, а в каждый момент времени
поток волновой энергии через это сечение равен квадрату величины (261).
Интеграл от этой величины по времени на интервале продолжительностью (т.
е. общая волновая энергия, которую импульс проносит через сечение х)
будет соответственно
, J tppl (х) |32 [А0 (х)/(р0 (X) с0 (х))], (265)
что, согласно (263), (264) и (246), где р0 (х) = у_1Ро (х)с1 (х)>
равно
~ (у 1)~1/2 р0 (0) с02 (0) А0 (0){Н*/ f [V0 (x)/V0 (0)] dx)i/2 .
о
(266)
Из этого следует что волновая энергия, проходящая через
•сечение х, является монотонно убывающей функцией от х.
Ее производная по пространственной переменной, взятая с обратным знаком,
I (7 -ИГ 1/2 Ро (0) С2 (0) А0 (0) [V0 (x)/V0 (0)1 X
X
x{H / \ [Н0 (x)/V0 (0)] ^}3/2 (267)
о
должна представлять собой волновую энергию, диссипирован-ную на единицу
длины трубки лучей.
Такая диссипация может возникнуть только внутри ударной волны, где
возрастание энтропии на единицу массы дается для слабой ударной волны,
согласно уравнению (216), в виде
cv (у2 - 1)Р3 /(12у2). (268)
Умножив (268) на невозмущенную температуру Т0(х), где cvTо (х) = с20
(х)![у (у - 1)], получим диссипацию энергии за счет ударной волны на
единицу массы жидкости; умножив эту величину на массу р0 (х) А0 (х),
приходящуюся на единицу .длины трубки лучей, получим диссипацию волновой
энергии
2,14. Нелинейная геометрическая акустика
241
на единицу длины в виде
(7 + 1) Ро(я)Со(ж)Л0(;г)Р3/(12у3). (269)
К нашему удовлетворению использование формул (263) для |3 и (246) для
V0{x) показывает точное совпадение между (267) и (269) - выражений для
этой диссипации на единицу длины, полученных двумя независимыми путями.
В изотермической атмосфере невозмущенная скорость звука является
постоянной, что упрощает формулы, приведенные выше, не только потому, что
с0 (х) может быть заменена постоянной с0, но и потому, что в этом случае
все лучи являются прямыми линиями. Для прямых лучей распределение площади
сечения тонкой трубки лучей с необходимостью подчиняется простому
квадратичному закону
Ар (ж) д(у + хц, z + xQ _
А0 (0) д (у, z)
_ 1 + хд^ду х dx\!dz _4 д 2 0
~ хдУду 1+xdUdz (AIV)
где (г|, ?) является двумерным векторным полем проекций на поперечное
сечение х = 0 единичных векторов вдоль направлений луча, в то время как Д
и / - значения дивергенции этого поля дц/ду д ydz и якобиана д(ц, Q/d(y,
z) вначале координат соответственно. Асимптотическая форма импульса
сжатия, возникающая при смещении вперед на Н в такой трубке лучей,
является импульсом треугольной формы, продолжительность которого,
согласно (246), (264) и (270), равна
*р~{(7+1)# \ [РоИ/Ро (0)]~l/2 (i + Ах + jx2)~i/2 dx}1'2 j с0.
(271)
Он следует за головной ударной волной, интенсивность которой, согласно
(263), равна
р~ 2у [ро^/рДО)]-1/2 (I + Ах + jx*)-V* (Я/с0*р). (272)
Отметим дальнейшие упрощения, возможные в случае эффективно постоянной
невозмущенной плотности. Крайний случай этих упрощений возникает, когда,
кроме того, j = 0, что дает линейный закон расширения площади сечения
трубки лучей (см. (270)). Это характерно для распространения
цилиндрического. импульса, например импульса, который может быть порожден
взрывающейся проволочкой. Продолжительность' tv асимпто-
16-01100
242
2. Одномерные волны в жидкостях
тического треугольного импульса при х ->¦ с" дается формулой *р~ (2 (V +
W&-1 [(1 + Л*)1'2 -1 ]}х'2/с0~
~ [2 (у + 1)#F* {х1А)УЧс0, (273)
а интенсивность ударной волны в том же предельном случае р - v I2#/(y +
1)]У*Д-1/*агя/4. (274)
Таким образом, получаем интересный закон асимптотического затухания
цилиндрических ударных волн, согласно которому интенсивность ударной
волны обратно пропорциональна расстоянию в степени три четверти.
(Заметим, что здесь не рассматривается особый случай, Д = / = О, когда
лучи локально параллельны, поскольку, как установлено в разд. 1.12,
геомет-трическая акустика неприменима асимптотически, если площадь трубки
лучей не увеличивается.)
В более общем случае j > 0, когда площадь трубки лучей увеличивается с
расстоянием квадратично (как, например, при распространении сферического
импульса), интеграл в (271) растет только логарифмически при больших х и
продолжительность импульса tp (пропорциональная квадратному корню из
этого интеграла) увеличивается поэтому очень медленно: нелинейные
искажения формы волнового профиля накапливаются весьма медленно, потому
что скорость искажения непрерывно и существенно уменьшается при
сферическом затухании. Аналогично, в соответствии с (272), скорость
затухания ударной волны выше скорости затухания сигналов, даваемой
линейной теорией, благодаря множителю H/(c0tv), убывающему очень медленно
(обратно пропорционально квадратному корню из логарифма расстояния).
В этом разделе до сих пор рассматривались системы с геометрическими
масштабами, значительно превосходящими характерную длину волны: это
основное предположение геометрической акустики. Однако такой же подход
