Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
0 (как следует из уравнения (4)), и она, таким образом, не возмущает
плоскую поверхность воды. Оставшаяся часть поля скоростей является
безвихревой и поэтому может быть записана в виде градиента V9 потенциала
скорости ф; только эта часть возмущает поверхность воды или проявляет
себя в колебаниях, связанных с распространением волн.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид v-u = 0, и из
него для безвихревой части поля скоростей,
17-01100
258
3. Волны на воде
соответствующей поступательному движению, следует уравнение Лапласа
V2cp = 0. ' (5)
Это уравнение может быть сопоставлено с волновым уравнением для звуковых
волн (разд. 1.1), в правой части которого содержится член c~%d2<p/dt2.
Однако в случае волн на воде, распространяющихся горизонтально с волновой
скоростью с, каждый член в левой части уравнения (фактически - вторая
производная по направлению распространения) имеет порядок с~2д2q>/dt2.
Эта величина гораздо больше, чем c~'ld2q>!dt2, при выполнении условия
(1), гарантирующего неравенство cs. Таким образом, уравнение Лапласа (5)
является прекрасным приближением для описания волн на воде.
Уравнением Лапласа нельзя описать распространение волн в жидкости,
полностью ограниченной стационарными поверхностями, но это можно сделать,
если добавить к нему условия, которые выполняются на свободной
поверхности воды. Как показано в разд. 2.2, эти условия требуют, чтобы
избыточное давление удовлетворяло равенству
Ре = Ро?? (6)
на возмущенной поверхности воды
z = t,(x, у, t), (7)
с тем чтобы (2) и (3) давали на этой поверхности для величины
Р ~ Ро + Ре значение атмосферного давления ра. Налагая это
условие, мы подразумеваем, что единственной силой, которая стремится
придать поверхности плоскую форму, является сила тяжести. Таким образом,
мы игнорируем разрыв давления поперек поверхности раздела "воздух -
вода", обусловленный поверхностным натяжением. Позднее (в разд. 3.4)
будет показано, что им можно пренебречь при рассмотрении всех волн, кроме
"волн ряби" (очень коротких).
Безвихревой поступательной части поля скоростей и = Уф отвечает в силу
уравнения (4) поле избыточного давления, выражаемое, как и в теории
звука, формулой
Ре = - Ро<5ф Idt. (8)
Тогда из (6) и (7) следует
[<?Ф !dt]z=l = - gl. (9)
Это условие является сложным ввиду того, что форма свободной поверхности
z = ? заранее неизвестна. Однако в линейной тео-
3.2. Синусоидальные волны на глубокой воде
259
рии это условие упрощается п может быть записано в виде
[dcp/d?]z==0 == - gfe, (10)
поскольку разность между левыми частями уравнений (9) и (10) по теореме о
среднем значении равна произведению малого возмущения ? свободной
поверхности и другой малой величины, а именно значения второй производной
<?2фidtdz в точке, расположенной между невозмущенной и возмущенной
поверхностями (г = 0 и z = ?).
Второе граничное условие связывает безвихревую поступательную часть поля
скоростей и = Уф с соответствующим ей вертикальным смещением ? свободной
поверхности. Скорость изменения величины ?, определяемая движением частиц
жидкости, равна вертикальной составляющей Уф на поверхности:
dt,!dt + u-УС = 1дц> !дг]г=1 . (И)
В линейной теории уравнение (11) может быть упрощено как за счет
отбрасывания в левой части конвективной составляющей иу?, являющейся
произведением величин малых возмущений, так и за счет замены значения
величии в правой части при z = ? ее значением при z - 0, как было сделано
при выводе соотношения (10). Это дает
dljdt = {dq>!dz]z=0. (12)
Соотношения (10) и (12) представляют собой линейные граничные условия на
фиксированной границе z = 0 области z^0, в которой должно быть
справедливо уравнение Лапласа (5). Дифференцируя соотношение (10) по t,
можно исключить из них ? и получить граничное условие для потенциала
скорости ф:
Э2ф Idt2 = - gdfp.'dz при 2 = 0. (13)
Решениями уравнения (5) в области z^2 0, удовлетворяющими граничному
условию (13), будут поверхностные гравитационные волны. Смещение
поверхности ? определяется через потенциал скорости ф из соотношений (10)
или (12).
3.2. Синусоидальные волны на глубокой воде
Установив, что в рамках линейной теории поверхностных гравитационных волн
задача сводится к решению известного уравнения Лапласа (5) для
безвихревого течения несжимаемой жидкости при специальном граничном
условии (13) на невозму-
17*
260
3. Волны на воде
щенной свободной поверхности z =0, изучим прежде всего решения,
описывающие бегущие синусоидальные волны. Именно эти решения
демонстрируют явление дисперсии - зависимость скорости волны от ее длины.
С другой стороны, мы увидим, что влияние дисперсии часто приводит к
необходимости рассматривать возмущения общего вида (несинусоидальные) и
требует определения различных синусоидальных составляющих его в некоторые
последующие моменты времени в различных точках. Это, очевидно, тот
механизм, под действием которого поверхность воды может локально
принимать почти синусоидальную форму (однако в разд. 3.6 нас ожидают
