Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
зависимостью площади "ечения А о трубок лучей от расстояния (разд. 2.14)
служит звуковое поле, создаваемое тормозящимся снарядом, летящим со
сверхзвуковой скоростью. Мы предлагаем читателю рассчитать в этом случае
излучение в воздух с эффективной постоянной плотностью р0.
Рассмотреть конусы лучей, исходящие из такого снаряда в моменты времени t
и t + 8t, когда его скорость равна U и и - /6< соответственно; здесь / -
величина торможения. Показать, что площадь А 0 (г) поперечного сечения
между этими конусами изменяется с расстоянием от вершины конуса
пропорционально
r+(r*/l),
где
Z=(?/2-c§) U (со/)-1.
Вывести, что если г0 ^ I является начальным значением г в дальнем поле
источников, так что геометрическая акустика применима при г > го, то при
больших г/г0 продолжительность 2"р порожденной снарядом N-волны дается
формулой
*Р = {fY+l) In [1 + 2 (r/l + rVl*)l/2 + 2 (г/0]}1/2/с0,
где Hi определяется уравнением (286). Заметим, что это выражение
позволяет сделать переход от поведения при г<^1, когда
*р"{2(у + 1)Я1г1/2}1/2./со, аналогичным случаю цилиндрического импульса
(273), к поведению при гЭ> I, когда ,
*Р * {(V+1) Ягli/2 In (4г//))1^2/с0,
; аналогичному случаю (277) сферического импульса. Объяснить • " г такой
переход с помощью геометрии конусов лучей. -
3. Волны на воде
3.1. Поверхностные гравитационные волны
Даже при первоначальном изучении волн в жидкостях необходимо
рассматривать дисперсионные эффекты - сложную группу явлений, наблюдаемых
в большинстве процессов распространения волн в жидкостях. Речь идет о тех
процессах, в которых скорость волны с изменяется в зависимости от длины
волны и, возможно, также от направления ее распространения. Таким
образом, даже если амплитуды остаются настолько малыми, что можно
применить линейную теорию, скорость распространения принимает различные
значения для различных синусоидальных составляющих общего решения.
Главы 3 и 4 посвящены в основном изложению общего взгляда на линейную
теорию дисперсии. Хотя отдельные волновые системы, описанные в этих
главах (прежде всего гравитационные волны), и сами по себе весьма важны,
они используются в основном для иллюстрации явления дисперсии; нелинейные
эффекты не учитываются.
Напротив, в гл. 2 рассматривались недиспергирующие системы с
фиксированной скоростью волны с, не зависящей от длины волны для всех
возмущений очень малой амплитуды. Но в ней развивались нелинейные теории,
учитывающие зависимость скорости сигнала от его интенсивности. В таком
нелинейном анализе недиспергирующих систем со скоростью сигнала, не
зависящей от длины волны, но зависящей от интенсивности, содержатся
трудности приблизительно того же порядка, что и в излагаемом далее
линейном анализе диспергирующих систем, в которых интенсивность сигнала
слишком мала, чтобы влиять на его скорость, зависящую, однако, от длины
волны (и, возможно, от направления распространения). Оба эти метода
целесообразно изложить в основном тексте, а гораздо более сложный
нелинейный анализ волн с дисперсией (учитыва-
3.1. Поверхностные гравитационные волны
255
ющий "конкуренцию" зависимостей скорости сигнала от длины волны и от его
интенсивности), который требует использования намного более развитых
методов, отложить до эпилога.
В главе 3 исследуется изотропная дисперсия, при которой скорость волны с
не зависит от направления распространения, но меняется с длиной волны.
Теория систем волн такого рода дана в разд. 3.1-3.5. В следующих трех
разделах изложена теория замечательного и важного свойства таких систем
волн, заключающегося в том, что фундаментальную роль в их распространении
играет групповая скорость, совершенно отличная от скорости волны с, с
которой движутся отдельные гребни и впадины волн. В разд. 3.9 и 3.10 эта
теория применяется для изучения конкретных систем волн.
Естественное обобщение этой теории на случай анизотропных диспергирующих
волн, скорость которых с зависит и от направления распространения, и от
длины волны, будет дано в гл. 4. Существенную роль снова будет играть
групповая скорость, которая будет отличаться теперь от скорости гребней и
впадин как по величине, так и по направлению. Это понятие вектора
групповой скорости оказывается основным в обобщенной теории трубок лучей
и их свойств, которая позволяет распространить результаты, полученные в
гл. 1 и 2 в пределе геометрической акустики, на случай общих линейных
систем и сделать их более обоснованными.
Основными примерами диспергирующих волн в гл. 3 и 4 являются
гравитационные волны, движение которых определяется взаимодействием между
инерцией жидкости и ее стремлением вернуться под действием силы тяжести в
состояние устойчивого равновесия в случае, когда более тяжелая жидкость
располагается ниже более легкой. В гл. 4 рассматриваются волны такого
типа внутри жидкости, плотность которой в невозмущенном равновесном
состоянии непрерывно уменьшается с увеличением высоты; это так называемые
