Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тонкая мембрана (х = 0) разделяет две первоначально покоящиеся жидкости:
рабочую, имеющую давление р0 и плотность ро, и толкающую (х < 0), имеющую
значительно большее давление р2 и плотность р2. В некоторый момент
мембрана разрывается. Предполагая, что поверхность раздела между двумя
жидкостями мгновенно приходит в движение с постоянной скоростью ui,
показать, что это порождает ударную волну только в рабочей жидкости. Что
образуется в толкающей жидкости?
Если рабочая жидкость является совершенным газом с постоянными удельными
теплоемкостями, а их отношение равно у0, показать, что давление р1 на
поверхности раздела связано с щ уравнением
Г 1 ^ ~ 1/2
"1 = (/>1- РоЦ-тг Ро [(Yo+1) Pi+CVo-1) Pol)
Рассматривая движение толкающей жидкости, являющейся совершенным газом с
постоянными удельными теплоемкостями, отно-
252
Упражнения к главе 2
шение которых равно ys, показать, что
иг = 2(Ъ- l)-i (т2Р2/р2)1/2 [1 - (Рг/РгР1"1)/(27а)] •
Доказать, что эти два уравнения однозначно определяют интенсивность
возникающей ударной волны Р = (.Pi - Ро)/.Ро-[Предположение о том, что
скорость поверхности раздела достигается мгновенно, впоследствии
подтверждается выводами из этого предположения: все динамические
уравнения удовлетворены, а скорость жидкости и давление непрерывны
поперек поверхности раздела между двумя жидкостями. Кроме того, этот
результат можно предсказать на основании анализа размерностей; данные
настоящей задачи позволяют определить величины с размерностью скорости,
например (рг/Рг)1/2 и (Pi/Pi)1/2^ но не величины с размерностью времени.]
12. Используя правило Уизема, рассмотреть развитие следующей про-
стой волны. В момент времени t = 0 единичный импульс сжатия, имеющий
площадь Q1 под кривой зависимости избыточной скорости сигнала v от
расстояния X, движется вперед позади более слабого импульса сжатия,
имеющего под соответствующей кривой площадь Q2 < Qi- Расстояние I между
хвостовыми концами импульсов сжатия достаточно велико, чтобы импульсы
были разделены невозмущенной областью. Показать графически, как правило
Уизема приводит к построению, определяющему процесс объединения ударных
волн, при котором после того, как хвостовая ударная волна переднего
импульса сомкнется с головной ударной волной заднего импульса, они
объединятся в одну ударную волну.
Показать также, что для достаточного большого I объединение произойдет,
когда время t удовлетворит уравнению
Z = (2(?n)1/a- (2CV)1/2,
и что после этого скачок добавочной скорости сигнала v будет равен
[2 (& + Q2)/t]4K
Каковы будут скачки добавочной скорости сигнала для двух ударных волн
непосредственно перед их объединением?
13. Гидравлический прыжок часто появляется как стационарное явле-
ние в установившемся потоке, и для потока постоянной ширины Ь при наклоне
дна а он может быть приближенно исследован следующим образом. В том
месте, где глубина потока равна h, средняя скорость течения и по
поперечному сечению принимается равной Jo/(bh), где /о - постоянный
объемный расход потока. Затем полагают udu/dx = g (а - dh/dx) - fu^/h,
приравнивая грубую оценку и du/dx для среднего ускорения жидкости к
разности между составляющей ускорения силы тяжести, параллельной
свободной поверхности, и грубой оценкой силы сопротивления на единицу
массы за счет турбулентного трения. Показать, что эти уравнения можно
объединить в уравнение
dh/dx = {ah3 - fh3)/(h3 - h3),
где h(. - критическая глубина, при которой скорость потока равна скорости
длинной волны.
Это дифференциальное уравнение ставит вопрос, аналогичный загадке,
изученной в разд. 2.9-2.12, а именно градиент dh/dx становится
бесконечным при h = hc. С другой стороны, этот градиевгт
Упражнения к главе 2
253
становится нулевым там, где h принимает установившееся значение К
(//а)1/8 = ha.
Читателю предлагается начертить интегральные кривые: (i) когда а < /, так
что hs > hc, и (ii) когда а > /, так что hs < hc. Заметим, что в случае
(i) возможен гладкий переход от установившегося течения при h = hs к
асимптотическому решению dh/dx •+" с горизонтальной свободной
поверхностью (соответствующему втеканию в резервуар). Показать также, что
такой гладкий переход невозможен в случае (ii).
Заметим, что в случае (ii) установившееся течение при h = hs является
сверхкритическим (скорость течения превосходит скорость длинной волны).
Это означает, что гидравлический прыжок, распространяющийся вверх по
потоку, может удерживаться в неизменном положении этим противоположно
направленным стационарным потоком. Показать, что глубина hr за этим
стационарным гидравлическим прыжком удовлетворяет уравнению
Ms (h + hs) = 2Щ,
у которого имеется только одно положительное решение, превосходящее hc.
Выяснить, каким образом это однозначно определяет переход от решения h =
hs к упомянутой интегральной кривой, которая стремится при больших х к
некоторому постоянному уровню горизонтальной свободной поверхности.
14. Иллюстрацией нелинейной геометрической акустики с квадратичной
