Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с использованием vx (уравнение (190)) и
Хх - с~]х - t.
На самом деле должна быть выбрана вторая возможность: хотя нелинейные
эффекты можно описывать общими способами, поперечное сечение и физические
характеристики зависят от расстояния и вызывают изменения волнового
профиля, зависящие скорее от расстояния, чем от времени; более того, в
линейной теории эти изменения были описаны посредством переменной
j c~\dx - t (уравнение (91)), которая является естественным
обобщением Хх.
2.13. Нелинейное распространение
233-
С использованием переменной ("дефицит величины обратной скорости
сигнала") величина, обратная скорости сигнала (и + с)-1, есть c~J - vlf
что означает, что уравнение (242)' можно записать в виде
[(с-J - Vi) d/dt + d/dx] [vJV^x)] = 0, (243)*
где функция F0 (х) определена так, что в предельном случаеслабых
возмущений
Ре [Ао (х)/ (ро (х)с0 (ж))]1/2 = [vJVfi (ж)] X const. (244)
Например, в любом случае, приводящем к равенствам (241)* (ограниченный
твердыми стенками совершенный газ с постоянными теплоемкостями или вода в
открытом канале с шириной, не зависящей от подъема воды), для слабых
вомущений выполняется
*>1 = Со1 - (" + с)~' ~ J (У + 1) иК ~ у (У + 1) Ре! (Р°Со) ' (245)'
так что можно принять
F0 (х) = А~^!2{х) р-1/2(ж) с~ь!2{х). (246)'
Уравнение (243) решается с помощью преобразования переменных, уже отчасти
знакомого. Обобщая уравнение (139),. выберем
X
Х4= [ с-1 dx-t, (247)-
О
и используем в качестве новой зависимой переменной
Vi = Vl/V0(x). (248)
Далее имеет смысл определить
Ti = j F0 (х) dx (249).
о
как новую времялодобную переменную (интеграл по переменной х от функции,
размерность которой есть величина, обратная скорости, т. е. от масштабной
функции F0 (х) для дефицита щ - величины, обратной скорости сигнала).
Использование новых независимых переменных (247) и (249) преобразует
частные-производные в (243) в производные
d/dt = -dldXx и d/dx = с~\ dldXt + F0 d/dTu (250)
234
2. Одномерные волны в жидкостях
что дает для выражения в первых квадратных скобках в (243)
[(c"J - Vx) d/dt + \д!дх] = Vx д/дХх + V0 dldTx- (251)
Окончательно с заменой зависимой переменной (248) уравнение |(243)
принимает вид
dVjdTx + VxdVxidXx = 0. (252)
Удивительно, что этот подход привел для довольно общей и весьма сложной
задачи этого раздела к тому же самому уравнению (186), которое, как было
показано в разд. 2.9, описывает однородный сдвиг волнового профиля! Пока
волновой профиль остается непрерывным, все результаты в рассматриваемом
случае оказываются точно такими, как было изображено на рис. 31, но с
заменой переменных t, х, v на Tl7 Xt, Vx- В частности, величина, обратная
наклону, т. е. (dVjdXx)'1, растет (при данном значении Vx) с единичной
скоростью по отношению к изменению Тх. Если волновой профиль задан при х
- 0 {т. е. при Тх = 0), то это означает, что тангенс угла наклона этого
профиля впервые станет бесконечным при значении Т1: •определяемом
равенством
Тх = min [ - {dVildX^}Tl=Q, (253)
аналогичным равенству (188). С помощью равенств (247) - {24Q) это дает
уравнение
X
^ [F0 (x)/F0 (0)] dx = min[(dvl/dt)-l]x=o, (254)
о
•определяющее расстояние х, на котором впервые должен появиться
бесконечный тангенс угла наклона волнового профиля (что неизбежно
вызывает образование разрыва), заданного при х = 0.
Уравнение (254) показывает, что образование разрыва задерживается, если
V0 (х) - убывающая функция; тогда, очевидно, возрастает значение х, при
котором левая часть принимает указанное значение (определяемое минимумом
по времени величины, обратной тангенсу угла наклона волнового профиля при
х = 0). Например, когда У0 (х) задается формулой (246), .увеличение
площади поперечного сечения оказывает подобное влияние; за счет
уменьшения амплитуды сигнала и, следовательно, также избыточной скорости
сигнала оно тормозит увеличение крутизны волнового профиля.
В случае рупора громкоговорителя, площадь поперечного сечения которого
имеет распределение А0 (х), левая часть (253)
2.13 Негинейное распространение
235
х
будет равна j [А0 (О)/А0 (х)]1/2 dx, а эта величина легко мржет
о
расти достаточно медленно, чтобы сделать невозможным образование каких-
либо ударных волн в пределах длины рупора. Действительно, в рупоре с
экспоненциально увеличивающейся площадью А0 (х) = А0 (0) еах (разд. 2.6)
этот интеграл никогда не может превзойти величины
оо
^ е-ах/2 dx _ 2а-1, (255)
о
сколь велика ни была бы длина рупора; поэтому, согласно (245) и (254),
ударная волна может образоваться в нем только в случае, когда
max (dpe/dt)x=0 > р0^а/(у + 1), (256)
что является очень сильным ограничением.
Напротив, когда V0 (х) является возрастающей функцией, расстояние х, при
котором должно быть выполнено условие •образования разрыва (254),
уменьшается. Это происходит, например, в случае, когда приливная волна
распространяется вверх по постепенно сужающемуся эстуарию (однако не по
эстуарию с внезапными изменениями поперечного сечения, которые, как
