Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
?! I I iL
to Lr » U»
Kt
:е
равномерно ограничена, т. е-, правая часть представляет равномерно сходящийся интеграл от Аналитической функции от z2. Умножая обе части последнего равенства на zl+k, замечаем, что справа ,стоит опять бессе-лева функция, и мы получаем:
dk Jx(Z) _ I 1 yjx + k(z)
НУ
d(z")k
или, записывая в иной форме:
(^ Y Jx(Z) _ kJx+k(z)
(22)
\zdzj
В частности при k = \ имеем:
± ЛШ = — J>f і ^ , (23)
dz 464
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
т. е. рекуррентную формулу:
dJ1(Z) X
Л(*)-Л+10). (24)
которая при X = O принимает вид:
J1(Z) = -
Исследуем еще осо.бо случаи, X = —~, X= • На основании формулы (21) имеем:
так как
то .
¦ тг со
2
— cos z.
TTZ.
Пользуясь формулой (23) при X =--- •
J , (г) JL(z)
d -J _ _2_•
Tz _ L ~ _JL '
Z 2 2 2
ро.лучаем:
d
dz
т. е.
j/1 COSZ = -|/"l Sin2:
T1(Jj)
2
Разделив, находим:
J г (г)
2 = ctg г.
(25)
JL(z)
2
Следовательно, функции Бесселя при X = —, X=I просто выражаются с помощью тригонометрических-функций. §2
Функции Бесселя
Из соотношений
Н\ (г)-{-Н\(г)
JAz) = -
J-Az)-
2
Н\(г) с'"'* +Hl(Z)C-
1
при X= Y следует:
Н\ (Z) + н\ (Z)
Ji(Z) =
2
J_i'(z)=l~
2
н\ (Z)-Hl (2)
или
Н\ (Z)-H21 (Z)
— г"./_ і (г) =
2
Складывая, получаем:
H11(Z)=J1 (Z) —U і (Z) = Л/ — (Sinz - і cos z) = —і \/ 2 eiz, (26) 2 у -у V KZ у nz
2 2 2 а вычитая, получаем:
H2 (Z) = J1 (z) + U !(Z) = I-/ — (sinz + icosz) = il/ —е-".
YY 'Y У nz у -rrz
(26')
Эти' выкладки иллюстрируют тот факт, о котором мы уже упоминали, что между функциями Бесселя, Неймана и Ганкеля существуют соотношения, аналогичные соотношениям между синусом, косинусом и показательной функцией. И в. теоремах, которые мы дальше выведем, относительно распределения нулей мы снова заметим эту аналогию (см. п. 8).
На стр. 463 мы вывели соотношение:
dk Л(¦*)__/ _1\*Л+*(?) ,99>
d (z2)k zx \ 2 Применим его к случаю X = -I
Zi
,— / \* -7I , Sz)
d лГ— JEf--Y- Il -Zi
>У * г 2) і.
d(ztfy uz \ 2J L+k
тогда получим:
лм4
*+2 V-K d(z^f z
30 Курант-Гильберт. 466
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
т. е. всякая бесселева функция J і (z) может быть выражена в виде
произведения рациональной функции от z и от тригонометрических функций z на Vz-
К другой рекуррентной формуле мы приходим, диференцируя обе части равенства:
L
Таким образом получаем:
/, (Z) = -Lj jVl'"^) C-irfC—
или
J\(z) = ^^Jx_1(z)-JM(z)\.
(27)
Вычитая из последней формулы соотношение
J[(Z) = ^ J1(Z)-Jm(Z),
находим:
о\
Л-іЮ + Л+іЮ = (28)
Это соотношение мы можем записать-также следующим образом:
Л-і (g)___2Х 1 2>. I
Jx(z) ~ Z J1(Z) ~~ Z 2Х-}-2 1
7x+1(z) Z 2Х + 4
J (z)
Таким образом мы представили отношение в виде бесконеч-
Л+1 \z)
ной непрерывной дроби; 'однако мы здесь не можем останавливаться на исследовании сходимости этой дроби. Если умножим обе части на z, то непрерывная дробь примет вид:
„Л-1 (г) ==21- -2L7- Z2 (29)
ЛИ
2Х -J- 2 2Х + 4 — • . _
При X = -L имеем:
г ^ §2
Функции Бес селя
467
Эта бесконечная непрерывная дробь для ctg .г была известна уже в XVIII столетии, и с помощью этой непрерывной дроби Ламберт 1J
„ Tt
доказал иррациональность числа тт, положив в ней z = — .
Для бесселевых функций с целочисленным индексом п имеет место следующая теорема сложения:
со
Jn{a-\-b) = YiUa) Jn-Ab). (31)
v=-co
Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения производящей функции el(a+b)siar-= Blasia' -Cibsin*-. На основании этого имеем:
со со оо
?^ + $)^=2 [ ^tJA*)Jn-Ab)]^,
K=-COj я=—CO V=-co
откуда следует наше утверждение.
При re = O имеет место несколько более общее соотношение:
______со
Jo (Ka2 + ^2 + 2ab cos a) = J0 (a) J0 (b) + 2 ? Jv (a) J 4 (b) cos va. (32)
і
Для доказательства воспользуемся интегральным выражением (10) и запишем произведение J,l(a)J_y (b) в виде двойного интеграла:
п Tt
4я2 I -'1 1 - - - 1+6sIny
Но этот интеграл можно после некоторых преобразований привести к виду:
2^ j" уо( V^ + b2 -f 2ab cos а) e~im da,
а отсюда следует соотношение (32).
Наконец, заметим еще, что функция /(г), удовлетворяющая некоторым условиям, может быть представлена с помощью бесселевых функций подобным же образом, как с помощью показательных функций на основании интегральной теоремы Фурье (см. гл. II, § 6 и гл. V, § 12).
Пусть /(г) — непрерывная и кусочно гладкая функция, и пусть существует
со
\r\f(r)\dr.
а
і) Lambert J. H., Memoire sur quelques proprietes remarquables des quan-tites transcendantes circulates et logarithmiques, Hist. Acad., Berlin 1761, стр. 265— 322, особенно стр. 269.
ЗО* т
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Тогда для каждого целого числа п и О справедлива формула:
со со
/(г) ==\sds\ tf(t) Jn (St) Jn (sr) dt. (33)
о о
К этой формуле приводит следующее рассуждение: полагаем
