Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
К (г, О'
У\— 2zZ + Z2
как Л другое ядро, удовлетворяющее уравнению (57), является
производящей функцией диференциального уравнения Лежандра. В самом деле, коэфициент un(z) разложения
со
K(z, O = YtUn(Z)Z"
о
такого ядра есть интеграл предыдущего вида
/ 1 rK(z, С)
и потому вследствие замкнутости пути интегрирования представляет решение диференциального уравнения (56) при X = я.
2. Функции Чебышева. В случае диференциального уравнения Чебышева
L [к] = (1 — Z2) и" — zu' = — X2M (59)
мы берем в качестве ядра К решение диференциального уравнения
(1 -Z*) Kzz -ZKz+ Z (ZKrk = о, (60)
например,
I-Z2
К [г, Z)
1—2 zZ + Z2'
и получаем таким образом .решения вида:
і Г I-Z2 ї
C1 I
C1 )
При этом C1 и C2 (черт. 17) представляют замкнутые кривые, которые на римановой поверхности подинтегрального выражения окружают кор-ни знаменателя: I
Z1 = z + Vz2 — \, Z2 = Z-Vz2^l. Черт. 17.
Применяя интегральную формулу Коши, имеем:
(61)
0
P1(Z) = (Z-Vz2-I)
M
к J
Q1(Z) = (z +Vz2- 1)х. Сумма
(62)
31* 484
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
которую можно представить также в виде интеграла
-C2
2> 2то J 1— 2*5-J-P
И — ох 2га J1 — ї~г ' « 1
где путь интегрирования С должен теперь окружать обе точки и С , переходит при \ = я в я-й многочлен Чебышева.
3. Функции Эрмита. Для диференциального уравнения Эрмита:
уГХ
С) I [к] = и" — 2zu' = — 2Iu (63)
мы выбираем функцию К, удовлетворяющую
'? * уравнению:
Черт- 18. K2* _ 2zKB + 2 WTc = 0, (64)
для которого функция является решением. Если возьмем за путь
интегрирования С одну из кривых C1 или Ca, изображенных на черт. 18, то получим решения:
"fi+i 1 Ге-'-1+2*'-
Ci
(65)
Полусумма этих решений
= ± [I\(z) +QJz)],
л
т. е. интеграл
1 Ге-Я+2А с
где С—есть путь, изображенный на черт. 20, переходит при \ = п в полином Эрмита Hn(z).
Если /?(!)< О, то мы можем провести путь интегрирования через начало координат и получаем, отвлекаясь от множителей, не зависящих от z, решения:
со
fg-Xf+M.
К (66)
"о
и
со
J C+1
-со
«?. (67)
4. ФункцииЛагерра. Соответствующим образом в диференциаль-ном уравнении Лагерра
L [и] = zu" -f (X-Z)U1 = -IU (68) §5 Шаровые фуніщии Лапласа
485
мы подчиняем функцию K(z, Q диференциальному уравнению в частных производных:
ZKzz+(\-z) K2 +ZK, = 0 (69)
и приходим к интегралам вида:
f (70)
с
При выборе пути интегрирования С следует обратить внимание на то, что точка C=I является существенно особой точкой подинтеграль-ного выражения. Если возьмем в частности за 1C путь, Изображенный на черт. 19, то интеграл
^-ііт^т^-1* (71)
с Черт. 19.
представляет решения, которые при ~к = п в основном - тождественны с полиномами Лагерра. Подстановка ?
приводит интеграл (71) к виду: Q :г (72)
Черт. 20. где под С мы теперь разумеем путь, изображенный на черт. 20.
Заметим еще в заключение, что так же, как в случае диференциального уравнения Лежандра, можно и в остальных разобранных здесь случаях рассматривать решение соответствующего уравнения в частных производных как производящую функцию семейства решений данного диференциального уравнения. В частности те специальные ядра, которые мы здесь применяли, определяют при разложении их в степенной ряд полиномы Чебышева, Эрмита и Лагерра.
§ 5. Шаровые функции Лапласа.
Мы ввели в гл. V, § 8, стр. 297 шаровые функции Лапласа У,, (&, <р) как повсюду регулярные на поверхности шара фундаментальные функции диференциального уравнения
^+ет^А + ^-о, (73)
соответствующие собственным значениям X = /г (« —J— 1). Тогда функции rnYn=Un являются целыми рациональными функциями прямоугольных координат X, у, Z, которые удовлетворяют диференциальному уравне- 486
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
нию MJ=O, однородны, и степень однородности равна я. Обратно, каждая целая рациональная функция /г-го измерения Un, удовлетворяющая диференциальному уравнению Ш= 0, будучи разделена на г™, дает шаровую функцию Лапласа. Так как целая однородная функция сте-
(Я+1)(Я+2) , ATT f\
пени я имеет —¦—~—1—- коэфициентов, а условие AUn = 0 налагает
—— линейных однородных соотношений между коэфициентами [ибо
Z
MJ- есть однородная функция (п — 2)-го измерения], то многочлен Un
(я +1)(я-1-2) я(я— 1) . t
должен иметь не менее чем —!—„-----= Zn -J- 1 незави-
^ Z
симых коэфициентов; следовательно, существуют по крайней мере 2я -J- 1 линейно независимых шаровых функций порядка я.
Мы в этом параграфе покажем, что предыдущие соотношения независимы, т. е. что существуют ровно 2я -J- 1 линейно независимых шаровых функций я-го порядка. Далее, мы докажем, что этими функциями Yn действительно исчерпываются все фундаментальные функции, а числами X = я (я-J-1) исчерпываются все собственные значения нашей задачи; наконец, мы выразим эти функции с помощью функций Лежандра высшего порядка, с которыми мы встречались в § 3 этой главы и в гл. V, § 10, п. 2, стр. 309. Начнем с последнего пункта.
