Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец рассмотрим еще функции Ганкеля при постоянном значении г ф 0 в их зависимости от параметра X. Так как подинтеграль-ное выражение в (3) представляет аналитическую' функцию от X и интегралы равномерно сходятся в любой конечной облас-ти изменения X, то функции Ганкеля являются аналитическими функциями от X, а именно целыми трансцендентными функциями.
3. Бесселевы функции и функции Неймана. Для физики представляют интерес те решения диференциального уравнения (2), которые при действительных значениях X и z имеют действительные значения. Чтобы получить эти решения, мы полагаем
н{(г)=jx(z)+/ад, \ 4
Hl(z) = Jx(z)-iNx(z); f [
4) Выберем S0 так, чтобы у + ^o было кратным от ^. Тогда мы можем представить исследуемый интеграл в виде:
it те
2 fj_2
fch^C0SeCOSoUe=4 f cm^S(-1Jv Ch A(e+v|)/C0Hr(e+vf)}rfS.
о о v=0
В этой сумме все более и более преобладающее значение 'с возрастанием у приобретает первый член, так как показатель cos —E по крайней мере на
1—cos Ya больше любого из следующих показателей cos +v ~ Но этот первый член с возрастанием у неограниченно растет. 29 Курант-Гильберт".- 463 Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
функция 1
Л(*) = у tfS + (*)] (5)
называется функцией Бесселя индекса а
N1(Z)^=Ii [Щ {г)~Н1{г)}
есть соответствующая функция Неймана. Так как определитель
1 1_ 2 2 1 -1 ~ 2
2 і 2 і
отличен от нуля для любого значения )., то и функции Jx (г) и . Nx (z) линейно независимы при всех значениях
При действительных значениях z и \ функции Ганкеля H\(z) и
являются сопряженными комплексными функциями. В. самом деле, заменяя ? через — С в выражении
__. п
Hl (Z) = — — j e^sinc- Kd^
T
где L1 есть зеркальное отражение пути L1 в действительной оси-, получаем:
H{(z) = -L J6T-'* sin W-ас db
-T1
так как путь — L1 есть путь L2, пробегаемый в отрицательном направлении, то
Vf
H1x(Z)=--\ е~,гsinс+Ас = /У? (z).
Следовательно, при действительных значениях Xhz функция Jx (z) представляет действительную часть, a Nx(z)— коэфициент при і в мнимой части функции Ганкеля Hl (z), т. е. Jx (z) и Nx (z) имеют действительные значения.
Функция H]_x(z) (V = 1, 2) является решением диференциального уравнения Бесселя при том же значении X, что и Hx(z), так как в диференциальное уравнение входит только X2. Однако функции Щ(г) и H'_xiz) не могут быть линейно независимы, так как согласно п. 2 они одинаково ведут себя в бесконечности.
И действительно, если в выражение
f
Н\ х (г) = — in--KdZ §2
Функции БесСеЛя
451
ввести новую переменную интегрирования получается соотношение:
Hl_x(z) = e^H\(z\,
Z —тт, то непосредственно
(6)
и аналогичным образом получаем:
H^1(Z) = с >'-Hl(z).
(6')
Для бесселевых функций и функций Неймана с отрицательными индексами имеем:
еЛлН1 (z) 4- е~!ЪЩ(г) J^(Z)= --^L'., (?)
N_,(*)"
<J>*H\ (z) — е - r> H2t (Z)
: __ ;
(7')
в противоположность функциям Ганкеля. эти функции J_x (Z) и Jx(z) и соответственно N_x(z) и N11Z) линейно зависимы не при всяком значении параметра X, а только в том случае, когда определитель
1
T
1
1 І sinXir
обращается в нуль, т. е. когда X является целым-числом. В этом случае
J_n(z) = (—\)n Jn(z), (8)
N_n(z) = (—l)"Nn(z). (8')
Поэтому мы можем выразить, когда X не является целым числом, общее решение диференциального уравнения (2) в виде:
ciJi(z)+c2J-i(2)-В случае X== п общее решение выражают нижеследующей суммой:
^JjT c,Nn(z)-
однако мы дальше увидим, что и в этом случае Nn (z) можно просто вычислить с помощью Jn(z) и J_n(z) (см. п. 9).
4. Выражение бесселевых функций в виде интегралов. Если сложить интегралы (3), представляющие функции Hx (z) и Щ (.г), то интегралы, взятые вдоль мнимой оси, взаимно уничтожаются; следовательно, в правой полуплоскости мы получаем для Jx(z) выражение:
-TX+I оо
TT+/OO
Jx(Z).
1C
2тт }
-Tt.
О
гс.
е ~iz sin dZ,
(9)
Черт. 10.
где L есть путь, изображенный на черт. 10.
Если в частности X является целым числом, то в силу периодичности
29* 452
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
подинтегральной функции пропадают и интегралы вдоль вертикальных частей пути L; мы получаем:
и
Ja(Z) = JL ^йп/*?? (10)
или
тг
Jn (z) = -i j* COS (z sin Z n?)dz, (10')
0
так как действительная часть подинтегрального выражения в интеграле (10) есть чет :ая функция, а мнимая часть — нечетная- функция. С помощью этих интегрзлов Jn'z) определяется для любых значений z. Итак, мы видим, что функции Бесселя с целочисленным индексом однозначны и регулярны ео всей плоскости и являютія поэтому целыми. функциями.
Выражение- (Ю>, далёе, обнаруживает, что Jn (z) есть п-й Коэфн-циент Фурье в разложении функции
аз
Clzsln^Yi Jn(Z) е'п\ (11)
—со
рассматриваемой как функция от в ряд Фурье. Мы можем также рассматривать это разложение как определение функций Jn(z) при целых значениях п с помощью производящей функции еызіп'.
При действительных значениях z и С из соотношения (И) следуют соотношения-:
