Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если в частности возьмем на обоих путях а= — (как это сделано
на черт. 12), то оба интеграла сходятся в правой полуплоскости 9R(z?>0. Если повернуть путь C1 в положение положительной части действительной оси, то соответствующий интеграл сходится в верхней полуплоскости и стремится, к нулю, когда z неограниченно возрастает в секторе
456
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Следовательно, на основании замечания в п. 2- интеграл может отли-
ед
чаться только множителем, не зависящим от z, от функции —5—.
tyk
Итак, - j
ЬгН\ (z) = zx I е!Л (Z2 — \) ~ JdZ, с,
b2 Н{ (z) =.2х J eiA (с2 — 1)~ Tdz.
и аналогично
Коэфициенты V1 и о2, которые, могут зависеть только от X, являются комплексно сопряженными числами. Это следует для действительных значений X изч замечания п. 3, что функции Ганкеля при действительных значениях X и 2 представляют сопряженно комплексные функции. В самом деле из соотношения
b2H{ {z) = — zx j" elA (S2 — 1 )Х 2
dZ
-С,
в силу того, что путь — C2 отличается от пути C13) только направлением обхода, непосредственно следует:
b2H[(z) ^blHx(Z),
а отсюда b2 (X) (X). Так как функции Ганкеля, как было указано в п. 2, являются анали-
1
тическими функциями от X и так как интегралы \е'л (S2 — 1) dZ, очевидно, Представляют аналитические функции от X, то и коэфициенты Ьл (X) и b2 (X) являются аналитическими функциями от X, и потому соотношение Ь2 = ЬЛ имеет место при всех значениях X.
Вычтем из первого интеграла второй, тогда мы можем преобразовать получающийся Путь интегрирования в путь, имеющий вид восьмерки, изображенный на черт. 13, который обходит точку
-j-1 в положительном смысле и точку -1 В OT-
Черт. 13-. рицательном смысле. Мы получаем
г» ^е,>:(С2 — 1 )'~YdZ =^b1Hl(Z)-b2H^(z)=^Hl(Z)-F1Hl(Z).
«
х- 1
Интеграл ^eiz* (Z2 — 1) 2 dZ представляет целую функцию от г, так
а
как подинтегральная функция есть целая функция от z, а путь йнтегри-
Здесь C1 и C2 идут параллельно мнимой оси (см. черт. 12) для того, чтоЕ обеспечить сходимость интегралов для положительных действительных значений г. §2 Функции Бес селя
457
рования конечный. (Если X = и + ~ , где п целое неотрицательное
число, то на основании теоремы Коши значение интеграла равно нулю.) Кроме того интеграл является решением уравнения (17). Условимся рассматривать пока такие значения для которых St X О, X ф я и
і ф я , где я ^ О целое число. При этих условиях наш интеграл
не равен тождественно нулю. В самом деле, при z = 0 он равен
2га
(І)
Г(х+1)т(1-х)
(см. следующий" п. 6). Отсюда следует, что¦ Ь, и Ь2 = Ь1Л при этих значениях \ не равны нулю. Далее мы можем утверждать, что наш инте-«/) (2)
грал равен C1 - ^x-, -где C1 некоторое постоянное число. Действительно,
общее решение уравнения (17) при наших условиях можно представить в виде:
1 ^c* Z1 ' •
Но наш интеграл и функция являются целыми функциями от z,
между тем ^ ^ не является целой функцией от Z, следовательно C2 должно равняться нулю. Итак,
b^z) —BtHl(Z) = * ^(P-I) ^dZ = C1Jx(Z).
к
с —
Сравнивая с формулой (5) п. 3, имеем: ¦^ = bl = — b2 = —^11T. е.
неравные нулю числа и Ь2 отличаются только знаком и являются
чисто мнимыми. Обозначив — через с, получаем выражение для Jx(z),
C1
которое во всяком случае имеет место при наших условиях относительно Xr
Jx(z) = Cz1 ^ е'л (Z2 — 1)'~ 2 dZ.
и
Чтобы определить постоянную с, мы сравниваем это выражение с выражением (16) и, полагая Z = 0, находим соотношение: 458
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Интеграл в левой части, как мы увидим в дальнейшем, имеет значение:
" 4J-)
(S2-I) 2^C = 2т- 4 7
и
Чтобы вычислить значение интеграла в правой части, рассмотрим интеграл
JL \ eV-'rf®
2га J
L
для действительных положительных значений г. Так как этот интеграл представляет аналитическую функцию от. то достаточно свести его к известным аналитическим функциям при указанных значениях t.
Предполагая, что 0, мы
....... ¦ * п можем стянуть круг радиуса 1 в
— 00 0 J точку — в начало координат; в са-
мом деле, интеграл остается сз{о-Черт. 14. дящимся, если путь интегрирова-
ния доходит до начала координат, так как показатель степени t — 1 больше чем — 1.
По теореме Коши Значение интеграла не изменится, если интегрировать не по пути L, а от —со до 0 под действительной осью и / от О до —оо над действительной осью (черт. 14):
.о —со
1
2то"
It -OO О
под над
действительной осыг
.о —со
- \ eV-^c=— \ evif~4v-\-~ \ evvf~4v (при f>0). к J 2т J 2т J
Полагаем v =— w, тогда первый интеграл равен:
о со
1 I wt-'Le-V-^'e-™(— dw) = ^— \ w'-^e-^-^'e-^dw, !та J 2га J
2то"
OO
а второй интеграл:
оо
I Wt-IeV- dw),
2т J
следовательно, сумма равна:
со
I wt-ie-w (еы—- e~ini)dw, 2тгі J Функции Бесселя
459
так- как еы—е~ш = 2t sin rd и согласно определению
OO
то сумма интегралов равна:
SinrrZ
Г (Z).
Из формулы для гамма-функций
