Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
со
COS (z sin С) = ^ Jn (z) COS «С,
-OO
со
sin (z sin С) = ^ Jn (z) sin
— 00
которые, однако, остаются справедливыми и для комплексных значений 2 и С Замечая, что
J_n(z) = (-l)*Jn(z),
мы получаем:
со Ч
cos (z sin 0 = J0 (*) 4- 2 ? J2n (z) cos 2<
со 1 (12)
sin(zsinC) = 2^y2n_1(z)sin(2«— 1)?; " і
тс
в частности при ц, = - - имеем
cos Z = J0 (z) ,— 2 J2 (Z) ' 2 Ji (г)—... sin Z = '2Jj (z) —2 Js (z) + ... §2
Функции Бес селя
453
Если ввести в выражение (9) переменную интегрирования Z'=e~~--!, то полупим:
А (г _ JL)
2 V c/f-X-l
-M^2TrJc2v c7C"1-1^ ПЗ)
L
причем за путь интегрирования L следует взять отмеченный на черт. 11 путь, имеющий форму петли. Он идет вдоль нижнего края отрицательной части действительной оси до iS точки Z — — 1, окружает начало координат вдоль единичной окружности и затем идет по верхнему краю от- —оо рицательной части действительной _ оси от Z = — 1 ДО —со1).
— OO у*
При целых значениях X^n ин-тегралы вдоль прямолинейных отрезков взаимно уничтожаются, и мы получаем: Черт. 11.
1 JUt-A) J"(z)zz=2йі §Є c C-1^C- (14)
Следовательно, Jn(z) является п-м коэфициентом разложения в ряд Лорана функции
^ (15)
—оэ
И это разложение можно было бы использовать для определения Jn (z) для целых значений п.
2V
Если в выражении (13) выполнить преобразование C= — сперва при
Z
условии, что z — действительное положительное число* то получим:
Vw)dv (16)
L
с тем же путем интегрирования L.
Так как интеграл в правой части сходится при всех значениях z, то выражение (16) представляет бесселевы функции при любых значениях z.
n Jyiz) ,
В частности мы видим, что отношение является целой функцией
Z
от z при любом значении А.
О К этому выражению мы могли бы непосредственно притти на основании метода, указанного в § 1, если бы мы подчинили ядро преобразования диференциальному уравнению:
*К„ 4- zK2 + zW- I (ZK1)1 = 0. -Mc-А)
которому удовлетворяет функция K= е г с . Преобразованное диференциальное уравнение имело бы тогда вид [С (?»)']' — X2» = О и ему удовлетворили бы решения !/=Clfcx- 454
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
5. Дру-гое выражение функций Ганкеля и бесселевых функций в виде интегралов. Обратимся теперь к другому выражению бесселевых функций в виде интегралов, которое получается,
если составить диференциальное уравнение для функции и применить
к нему преобразование Лапласа. Естественно ожидать, что таким об-
J, (z).
разом получится- простой результат, так как есть однозначная функция от z. С этой целью вводим в уравнение
и+}и' + (і-*)и = 0 вместо и новую переменную to(z) при помощи соотношения:
U = WZ1
и получаем уравнение:
га" -j- (2? -j- 1) ю' 4" Zio = O. (17)
Полагая
ю (Z) = \K(Z, О V (Z) d:, К=е*, с
имеем:
J [zK„ f(2).-bl)^z+ zK) V (Z) dZ = О с
или, так как в случае преобразования Лапласа имеют место соотношения:
K7 = ZK,
K=-Kz,
а.следовательно и zK„ = Z2K^ 1о:
^ {(1 + Z*)К + (21 + 1) ZK}v(Z)dZ = с
= - [ К (г, Z) {(1 + Z2) V - (21- 1) Zvj dZ -f f I K{v( 1 + Z2)] dZ = 0. с с
Следовательно, диференциальное уравнение будет решено, если мы определим v(Z) и путь С так, чтобы имело место уравнение:
(1 -Z^vf(Z)-(2Х— 1)С«(0 = 0
и чтобы функция ezZv(Z) (1 -j- Z2) принимала одинаковые значения на концах пути С; мы получаем:
2Х — 1 „ V(Z) \-\-Z2"
или
х- L
®(0 = с(1-}-Р) 2 §2 Функции Бес селя
455
Следовательно.
= cje*(l + С2)* Uz
или, вводя новую переменную интегрированияг С — г"С, относя постоян-
ный множитель г(—1) 2 к постоянной и обозначая новый путь интегрирования опять через- С, имеем:
Г ±
b>(z) = c\e"r-{Z?—\)
Чтобы найти допустимый путь интегрирования, мы строим сперва риманову поверхность подинтегральной функции, соединяя обе точки разветвления ? = 4-1 и ? = — 1 сечением и прикрепляя вдоль этого селения друг к другу бесчисленное множество листов. В частности мы можем провести это сечение вдоль двух лучей, исходящих из точек -J- 1 и —1 в бескрнечнрсть. Разумея под C1 и C2 два пути, проходящие в основном листе римановой поверхности, каждый из которых окружает только один из лучей и не проходит через ТОЧКИ -4-ій —1 (см. черт. 12, где лучи идут параллельно мнимой оси), мы вндим, что интеграл ю (z) сходится на одном из этих путей для тех значений z, для которых вдоль луча Зі .(ZzC) стремится к — оо, вместе с тем выражение
і
W і
Kv (С2 —1) = (С2 — 1), + 2 е1
•ч
Черт. 12.
стремится на обоих концах пути интегрирования к нулю, т. е. ю (z) является решением' уравнения (17). Если луч образует с направлением Оси угол а, то предыдущее условие выполнено, если
-V cos a -J- X sin а > О,
т. е. если Z = х -J- iy лежит в определенней полуплоскости; ограниченной прямой у cos Gt -J- X sin Gt == 0. Мы можем, однако, таким же образом, как в п. 2, аналитически продолжить интегралы, если заставим а пробежать надлежащим образом выбранную бесконечную последовательность положительных значений и бесконечную последовательность отрицательных значений.
