Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
9. Задачи на разыскание собственных значений для замкнутых поверхностей. Простейшим примером задачи на разыскание собственных значений для замкнутой поверхности служит задача, приводящая к шаровым функциям Лапласа, причем вместо граничных условий здесь вводится условие регулярности на всей поверхности. С помощью метода, изложенного в гл. VI, можно и в этом случае свести задачу к задаче нахождения минимума или соответственно максимума 2)
минимумов отношения , где 3) представляет собой квадратичное выражение, содержащее производные функции ср, a Jq [:р] — определенное положительное квадратичное выражение, не содержащее производных, причем оба эти выражения являются в этом случае интегралами, взятыми по данной замкнутой поверхности. Теория . таких задач на разыскание собственных значений м&кет быть распространена и на другие квадратичные диференциальные выражения для замкнутых поверхностей. 440
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
10. Оценка собственных значений в случае наличия особых точек. В § 2, п. 4 мы рассмотрели на примере собственных значений бесселевых функций случай, когда диференциальное уравнение имеет особую точку, причем для бесселевых функций нулевого порядка потребовалось отдельное исследование, опирающееся на специальные свойства бесселевых функций. Покажем, как можно избегнуть такого специального исследования с помощью общего п тема, применимого и в других случаях. Речь идет о задачах, относящихся к выражениям:
і і
D [tp] = j" лгср'2 dx, H [tp] = j" JCtp2 dx
u 0
и не содержащих граничного условия для точки л; = 0; для точки х=\ пусть задано граничное условие tp (1) = 0. ВвеДя в качестве искомой функции функцию |/л:<р, мы легко"получим для я-го собственного значения In нашей задачи оценку
In < W2TI2,
а для числа А (X) собственных значений, не превосходящих верхней грани X, мы получаем, таким образом, оценку:
л Ms*-1-]/!.
TT
Чтобы найти теперь нижний предел для In или верхний предел для А (к,) в чем в сущности и заключается специфическая трудность нашей задачи, мы поступаем следующим образом: выберем какое-нибудь сколь угодно малое положительное число є, не превосходяшее во всяком случае единицы, и обозначим через B1 (к), B2 (к) числа собственных значений, не превосходящих верхней грани 1, для выражений:
и соответственно
Є E
D1=^xf2 dx, H1 xf dK с о
і ; D2=^xf2 dx, H2 = ^xf dx,
причем в точке X = ? функции сравнения могут и ие удовлетворять условию непрерывности, так что д^я обоих случа в граничная точка X = є не подчинена никаким граНич <ым условиям. T .гда
Л (X)ss .S1 (X)+ ZJ2(X)
Для B2 (X) мы получаем, применяя общие методы настоящей главы, асимптотическое соотношение: §7
Дополнения и задачи к шестой главе
441
Что касается числа S3(X), то мы его оцениваем следующим образом: увеличим Hj, заменив его выражением:
е
о
и уменьшим D1, заменив его выражением:
є
о
Обозначая через B1* (X) измененное число собственных значений, не превосходящих X, мы, очевидно, получаем:
B1 (X) ^ В* (X).
Но-для измененной таким образом задачи мы можем получить в явном виде соответствующие собственные функции, преобразуя интервал О =? X 5? є в интервал — 1 ? ^ 1 с помощью преобразования
Мы получаем тогда в качестве собственных функций полиномы Лежандра от переменного а в качестве собственных.значений числа я _
S2
Отсюда следует, что B1 (X) С B1* Q) =? є 0 S) |/Х, причем при возрастании X число Ь стремится к нулю. Сопоставляя найденные результаты, мы получаем отсюда, принимая в і внимани1, что число є мо-кет быть сделано сколь угодно малым, следующую асимптотическую оценку:
Л (к) 1
Iim
>со
Vi *
11. Минимальное свойство круглой мембраны или пластинки. Из всех закрепленных мембран или пластинок данного периметра или данной площади и при заданной постоянной плотности и упругости самый низкий основной тон дает мембрана или пластинка, имеющая форму окружности [доказательство для случая заданного периметра см. в первой из цитируемых ниже работ; для случая заданной площади см. работы Фабера (Faber) и Э. Крана 2) (Е. Krahn)].
12. Задачи минимума для случая неравномерного распределения масс. Доказать следующие теоремы, представляющие интересные случаи применения вариационного исчисления.
d) Faber G., Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicher Flache..., Bayr. Akad., 1923.
•<) Krahn F.. Uber eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des Kreises, Math. Ann.. 94. 442
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Основной тон закрепленной струны с заданной постоянной упругостью и с заданной общей массой достигает минимума тогда, когда вся масса сконцентрирована в центре струны.
Доказать аналогичные теоремы для мембраны и пластинки.
13. Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля и принцип максимума минимумов. Теорема § 6 о том, что нули я-й собственной функции задачи Штурм-Лиувилля делят основную область на п частей, может быть доказана следующим образом1).
Если закрепить п—1 произвольно взятых внутренних, точек колеблющейся струны, то основной тон получающейся таким путем системы tt независимых струн совпадает с самым низким из основных тонов этих tt частичных колебательных систем, отдельно взятых (см. § 1, п. 3). Основное колебание разложенной системы задается тогда функцией, выражающей основное колебание .соответствующей частичной колебательной системы и равной нулю на остальных участках всей заданной системы.
