Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
J [(fj = D fej -FfeJ ^X1 + е,
тогда как
//[<Pj = i.
От этой задачи перейдем ко второй вариационной задаче (43), (44), определяющей второе собственное значение X2. Если мы введем при этом в качестве добавочного условия требование:
$ Vw^dg= Ffe, <рJ = 0,
то мы получим в силу максимально-минимального свойства собственного значения X2 в качестве минимума число, не превосходящее X2. Мы можем поэтому найти такую функцию ср2, чтобы
DfeJ- FfeJ^X2 -К
тогда как
/ZfeJ-=I; Ffe1, CfJ=O.
Продолжая таким же образом, мы получим последовательность функций W1, ш2,..., Cflv,..., для которой
DfeJ-FfeJssXv-M,
//[VJ = IjFIvvJ = O. Oi-1'^"-* 1J- 428
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Если числа Xv не превосходит верхней границы — 2є, то для всех наших функций имеет место неравенство:
(47)
Из этого неравенства мы заключаем прежде гсего, что выражение D [<pv] остается ограниченным, ибо из неравенств (45) и (46) следует, что
/4<p]<4e?[<p] + w*l<p],
откуда
(1 — 4а) D [ср] < Ь.
С другпй стороны, из неравенства (47) следует, что Ffy] ^ е. Таким образом наша последи вате іьность функций <р обладает указанными выше свбй і вам и.
Остается доказать упомянутую выше лемму: если задана последовательность функций для которой D [ср] и //[<р] ограничены, то мы можем из этой последовательности выделить такую подпсследователіность tpn, для которой F [<р„ — <pj—>-0.
п, т -»-со
Эта лемма представляет собой обобщение приведенной выше (§ 2, 2) леммы Реллйха, на основании которой мы смогли доказать бесконечное возрастание "собственных значений для конечной области. Ограничимся тем случаем, когда функция V регулярна в окрестности начала координат (если V обращается в начале координат в бесконечность и если порядок роста V ниже второго порядка, то лемма остается в силе н доказывается с помощью оценок, вполне аналогичных приводимым ниже).
Для доказательства построим последовательность шаров K1 с радиусами Ri. На основании упомянутой только что леммы Реллйха существует подпоследовательность tp, функций для которой F [уп — <fm] стремится к нулю, если мы будем этот интеграл брать только по внутренней части шара Kv Из этой подпоследовательности выделим вторую подпоследовательность, для которой стремится к нулю интеграл F [<ря — <рт], взятый по внутренней части шара Ki. Продолжаем этот процесс и образуем из этих подпоследоватетьностей обычным способом диагональную последовательность, которую мы снова обозначаем через <рп. Тогда для этой последовательности интеграл — <pm], взятый по внутренней
части какого-нибудь из шаров K1, стремится к нулю. Чтобы доказать, что это остается в силе и если мы распространим интеграл F [wfi — <аот] на все бесконечное пространство, достаточно показать, что этот интеграл, взятый по части пространства, лежащей вне шара K1, не превосходит некоторой верхней грани, не зависящей от и и т и стремящейся к нулю при неограниченном возрастании R. Для этой цели заметим, что при достаточно большом Rnr^R функция V удовлетворяет, со-
I/^- в в
гласно предположению, неравенству ^ откУДа следует, что
интеграл F[yn — <pm], взятый по части пространства, лежащей вне шара радиуса R, удовлетворяет неравенству:
г,г 1 В „. ,4В
F К - tPrJ С Щ Н Ьп— tP J < ^ ,
что и доказывает наше утверждение. §Ь
Узлы собственных функций
429
§6. Узлы СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Исследование общих свойств собственных функций представляет несравненно большие трудности, чем исследование собственных значений. В то время' как относительно поведения собственных значений получены, как мы видели в предыдущих параграфах, точные результаты большой степени общности, исследование собственных функций в общем виде еще очень мало продвинулось вперед, что и неудивительно, если принять во внимание, насколько разнообразны по своей природе все те различные классы функций, которые определяются с помощью задач на нахождение собственных значений. В следующей главе мы займемо, более подробным исследованием некоторых специальных функций этого рода. В этом же параграфе мы остановимся на некоторых общих свойствах собственных функций рассмотренных задач.
Особенный интерес представляют те точки основной области G, в которых обращается в нуль какая-нибудь из собственных функций. Смотря по тому, является ли область G областью одного, двух, трех или большего числа измерений, мы говорим об узловых точках, об узловых линиях, об узловых поверхностях и т. д. В качестве общего термина мы называем многообразия нулей собственных функций узлами 1J.
Отметим прежде всего тот факт, доказа^льство которого непосредственно будет следовать из приводимой ниже теоремы, что первая соб' ственная функция вариационной задачи не может иметь узлов внутри осночной области. Эта функция имеет поэтому постоянный знак, а вследствие этого все о руги е собствённые функции, ортогональные к первой, обязательно имеют узловые точки.
Основываясь на этом, можно установить некоторые общие положения относительно расположения и плотности распределения узлов. Рассмотрим, например, диференциальное уравнение Au -}- \и = 0 при граничном условии и = 0. Пусть область G1 целиком лежит внутри области G и не содержит ни одной узловой точки собственной функции ип. Рассмотрим наименьшую область G", лежащую внутри G и содержащую область G', все граничные точки которой являются узловыми точками функции ип. Для этой области G" функция ип должна быть первой собственной функцией, а Xn — наименьшим собственным значением. С другой стороны, согласно нашей общей теореме 3 первое собственное значение для области G" не может быть больше первого собственного значения у для области G', так что у^Хп. Если, например, G' представляет собой OKpjOKHOCTb радиуса а, то Y=tS гДе т есть наименьший нуль уравнения
