Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Канонические диффеоморфизмы полезно изучать с помощью аппарата
производящих функций. Пусть, например, det ЦЗХ/дхЦ Ф 0. В этом случае
можно разрешить (по крайней мере локально) уравнение X = Х(х, у)
относительно х и считать X, у "независимыми" координатами. Тогда х =
х(Х,у), Y = Y(X,y).
Если мы положим S = f^0'v xdy + Y dX (значения интеграла не зависят от
пути интегрирования), то х - dS/dy, Y - dS/dX. Функция S(X,y) называется
производящей функцией канонического отображения <р. Если, например, <р-
тождественное отображение, то S = Ху.
4. Пусть 7 - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве М х М =
{z,t} гамильтоновой системы i = JH'{z,t). Каждая точка (zo,to) € 7
определяет единственную регулярную кривую (z(t),t) в М х М, где z(-) -
решение уравнений Гамильтона с начальным условием z(to) = zo.
Совокупность этих кривых заметает цилиндрическую поверхность П в М х М,
которая называется трубкой траекторий. Согласно теореме Пуанкаре -
Картана [69], интеграл / , ydx - Hdt имеет одно и то же значение для всех
гомологичных замкнутых кривых 7' на П (одинаково "охватывающих" трубку
траекторий П).
Пусть две замкнутые кривые 71 и 72 - сечения поверхности П соответственно
плоскостями t = t\ и t = t2- Тогда J^^ydx = = f^ydx; этот результат
впервые получен Пуанкаре [146, т. III].
В частности, если 7 - замкнутая кривая на М и д1н - фазовый поток
гамильтоновой системы, то интеграл от 1-формы ydx по замкнутой кривой
дгн(7) не зависит от t. Отсюда выводится "основная теорема гамильтоновой
механики": фазовый поток уравнений Гамильтона является семейством
канонических преобразований.
5. Симплектическую структуру на М можно задать с помощью симплектического
атласа - набора совместных друг с другом
21
Глава I. Гамильтонова механика
карт, в котором переход от карты к карте является гладким каноническим
отображением. Пусть, например, М = T*N - кокаса-тельное расслоение
гладкого многообразия N. Симплектическая структура на T*N задается
набором локальных координат аду, где х - локальные координаты на N, у-
компоненты линейных дифференциальных форм на T*N в базисе dx.
Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической
структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является
замкнутая невырожденная 2-форма Q на четномерном многообразии М. Форма П
позволяет построить естественный изоморфизм касательного ТХМ и
кокасательного Т*М пространств: вектору ? ? ТХМ ставится в соответствие
ковектор
? Т*М по правилу <р${г]) = П(^,у), у ? ТХМ. Пусть J - обратное
отображение, и пусть Н- гладкая функция на М (возможно, зависящая от
времени). Дифференциал dH является 1-формой (элементом из Т*М), поэтому 3
dH - гладкое векторное поле на М. Обозначим его vjj и назовем
гамильтоновым векторным полем. Соответствующее дифференциальное уравнение
на М
х = vjj(x) (1.3)
эквивалентно (1.1).
Действительно, пусть F и G - гладкие функции на М. Корректно определена
функция Sl(vc,,vp), которая, как можно проверить, удовлетворяет свойствам
1)-4) скобки Пуассона. Итак, ?1(vg, vp) - скобка Пуассона функций F и G,
и мы можем ее обозначить {F, G}. Ввиду тождества {F, Я} = Q(v[{,vf) =
dF(3dH) = dF(vu), можно записать уравнение (1.3) в виде (1.1). Обратно,
пусть F-функция на М. Из свойств 1) и 3) скобки Пуассона вытекает, что vp
= {F, •} является дифференцированием, т. е. касательным вектором к М. В
силу невырожденности скобки Пуассона все касательные векторы можно
представить в таком виде. Пусть G - еще одна такая функция и vq - {G, ¦}-
соответствующий касательный вектор. Определим 2-форму П по формуле
Q(vc,,vp) = {F, G}. Эта форма, очевидно, билинейна, кососимметрична и
невырождена. Из тождества Якоби можно вывести, что форма О замкнута (<Ю =
0). В симплектических координатах х, у она принимает канонический вид Q =
^2 dyi A dx{. Это - одна из эквивалентных формулировок теоремы Дарбу. В
координатах х, у уравнения (1.3) имеют вид
(1.2). Отметим еще, что J - матрица оператора J в симплектических
координатах.
Таким образом, симплектическую структуру на М можно задавать замкнутой
невырожденной 2-формой Q. Допуская вольность речи, форму П также будем
называть симплектической структурой. В дальнейшем будут использоваться
разные способы описания гамильтоновых систем.
22
§ 1. Уравнения Гамильтона
6. Предположим, что гладкие функции Н и F коммутируют (находятся "в
инволюции"): {Я, F} = 0. Тогда F - первый интеграл канонической системы с
гамильтонианом Я, и наоборот, фазовые потоки и g*F этих систем также
коммутируют на М. Так как {{F, G},#} = {{F, H},G) - {{G,H},F}, то
интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли
всех гладких функций на М (теорема Пуассона).
7. Натуральная механическая система-это тройка (N,T,V), где N - гладкое
многообразие (пространство положений), Т - ри-манова метрика на N
(кинетическая энергия), V - гладкая функция на N (потенциал силового
поля). Движения такой системы - гладкие отображения q : К -> N,
