Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Несмотря на явную недостаточность для целей динамики теорем о
несуществовании алгебраических интегралов, результаты подобного рода
долгое время оставались весьма популярными. Так, Карл Зигель счел
необходимым доказать в 1936 г. теорему Брунса - Пуанкаре для
ограниченного варианта задачи трех тел.
9. Плодотворная постановка задачи об интегрируемости уравнений
Гамильтона и первые нетривиальные результаты в этом направлении
принадлежат Анри Пуанкаре. В работе "О проблеме трех тел и об уравнениях
динамики" (1890 г.) он исследовал задачу о полной интегрируемости
"основной проблемы динамики". Речь идет о гамильтоновых системах,
возникающих в теории возмущений: функция Гамильтона разлагается в ряд по
степеням малого параметра Н = Но + еН\ + 52//г + •. •, причем
гамильтониану Н0 отвечает вполне интегрируемая система. Пуанкаре нашел
необходимые условия существования дополнительных интегралов в виде
степенных рядов ^ Ь\ек\ коэффициенты которых Fk суть аналитические
функции в окрестности инвариантных торов невозмущенной системы (при е -
0). Из его результатов вытекает, в частности, расходимость рядов
различных вариантов теории возмущений в общем случае. Пуанкаре указал
также явления качественного характера в поведении фазовых траекторий,
препятствующие появлению новых интегралов; среди них-рождение
изолированных периодических решений и расщепление асимптотичес-
16
Введение
ких поверхностей. Он применил свои общие методы к различным вариантам
задачи п тел. Оказалось, что, кроме известных классических законов
сохранения, уравнения движения не имеют новых аналитических интегралов,
аналитических по массам планет.
К. Зигель в 1941-1954 гг. исследовал вопрос об интегрируемости
гамильтоновых систем вблизи устойчивых положений равновесия. Он доказал,
что в типичной ситуации уравнения Гамильтона не имеют полного набора
аналитических интегралов и преобразование Биркгофа расходится.
Доказательство Зигеля расходимости преобразования Биркгофа в идейном
отношении восходит к исследованиям Пуанкаре: оно основано на тщательном
анализе семейств невырожденных долгопериодических решений.
После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание
того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до
интегралов "в целом" связана со сложным поведением фазовых траекторий на
уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но
имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне
должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем.
Системы, обладающие т, но не ш+1 интегралами "в целом", Леви-Чивита
предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости
смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в
1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой
компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования
геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и
Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное
поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает
Пуанкаре [147], "...траектории задачи трех тел*) сопоставимы не с
геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а
наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К
сожалению, эта задача значительно сложнее...". Здесь уже зоны
квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с
областями, составленными из траекторий "регулярного" вида. Обсуждение
этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [111] и книге
Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости
задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе
В. М. Алексеева [2].
10. В динамике твердого тела усилиями Д. Н. Бобылева, В. А. Стеклова,
С. А. Чаплыгина, Д. Н. Горячева и других исследователей были найдены
несколько "частных случаев интегрируемости". Речь идет о частных точных
решениях, которые удается найти с помощью квадратур. Траектории этих
решений, как
') И многих других задач динамики. - В. К.
17
Введение
правило, замкнуты. В начале века была популярна точка зрения, высказанная
Ф. Клейном и А. Зоммерфельдом [209]: если известен достаточно большой
набор частных решений, то посредством интерполирования можно составить
представление о свойствах вращения твердого тела в общем случае. Однако
дальнейшее развитие теории динамических систем не подтвердило концепцию
Клейна - Зоммерфельда. В фазовом пространстве задачи о вращении тяжелого
твердого тела вокруг неподвижной точки почти всегда имеются зоны
квазислучайного движения, наличие которых никак нельзя вывести из факта
существования большого числа периодических или условно-периодических
траекторий.
В этой книге мы не будем касаться вопросов, связанных с поиском точных
частных решений уравнений динамики.
11. В последнее время получили дальнейшее развитие идеи Пуанкаре, а
