Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
9
Введение
возможным благодаря наличию интегралов типа сохранения полной энергии (Н
- const).
3. Гамильтон (1834 г.) и Якоби (1837 г.) разработали общий метод
интегрирования уравнений динамики, основанный на введении специальных
канонических координат.
Идея метода Гамильтона - Якоби восходит к работам Пфаффа, Коши (и к более
ранним исследованиям Лагранжа и Монжа) по теории характеристик. Его суть
заключается в следующем: преобразование независимых переменных р, q -> Р,
Q вида
переводит канонические уравнения (1) в канонические уравнения
с функцией Гамильтона K(P,Q) = H(p,q)\pq- Если-функция К не зависит от Q,
то уравнения (3) сразу интегрируются:
Таким образом, задача интегрирования канонических уравнений (1) сводится
к отысканию "производящей" функции S(P,q), удовлетворяющей нелинейному
уравнению Гамильтона - Якоби
которое является частным случаем уравнения (2). Наиболее эффективным
способом решения уравнения Гамильтона - Якоби является метод разделения
переменных. Этот метод неинвариантен по своей сути, и от исследователя
требуется большое искусство в выборе подходящих переменных. Желая
подчеркнуть это обстоятельство, Якоби писал: "Главная трудность при
интегрировании данных дифференциальных уравнений состоит во введении
удобных переменных, для разыскания которых нет никакого общего правила.
Поэтому мы должны идти обратным путем и. найдя какую-нибудь замечательную
подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом
применена" ("Лекции по динамике"). В качестве такой "замечательной"
подстановки Якоби ввел эллиптические координаты. С помощью эллиптических
координат (и их вырождений) Якоби и его последователем Карлом Нейманом
решен ряд новых задач динамики, среди которых отметим задачу
BS 9S
Р
S(P,q) : М2п ->
М
ю
Введение
о геодезических на квадриках и задачу движения точки по многомерной сфере
в силовом поле с квадратичным потенциалом. Впоследствии Лиувилль (1849
г.) и Штекель (1891 г.) указали довольно общий вид гамильтонианов,
допускающих разделение переменных.
Если задача решена методом Гамильтона - Якоби, то функции Pi(p, q),...,
Рп{р, q) будут первыми интегралами, которые, как легко проверить,
находятся в инволюции, т. е. их скобки Пуассона
1р. р\ = ^ (дРгЩ _ ЩдР *' Р \ Яп Яп Яп Яп
det
<=1 ч <)qs dps dq" dps
тождественно равны нулю. Эта идея была развита Буром и Ли-увиллем в 1855
г. С помощью метода Гамильтона - Якоби было доказано, что гамильтоновы
уравнения с п степенями свободы можно проинтегрировать, если известны п
независимых интегралов в инволюции. По существу, это - инвариантная
формулировка метода Гамильтона - Якоби. Доказательство теоремы Лиувилля
основано на следующем рассуждении. Пусть Н=Р\, Рг> • • •> Рп - набор
независимых инволютных интегралов. Если, например, дР{
-- Ф 0, то из уравнений PAp,q) = с, (1 ^ г < п) можно %
найти (по крайней мере локально) pj = fj(q,c). Из инволютивнос-ти
интегралов Pi вытекает, что 1-форма )Г Д (q, c)dq3 замкнута, и поэтому
локально она является дифференциалом (по q) некоторой функции S(q,c). Так
как Н (dS/dq,q) = сь то функция S представляет полный интеграл уравнения
Гамильтона - Якоби.
В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина,
Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые
из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических
работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения.
Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны
на методе интегрирующего множителя Эйлера - Якоби. Напомним, что для
этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь
интегральный инвариант и обладать п- 2 независимыми интегралами. Из-за
этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач
динамики. Самый яркий пример - задача о вращении твердого тела с
неподвижной точкой в гравитационном поле удаленных центров. В этой задаче
Вруном [183] были найдены три интеграла, чего недостаточно для применения
метода Эйлера - Якоби. Однако, ввиду инволютивности найденных Вруном
интегралов, задача интегрируема по теореме Лиувилля; явное интегрирование
осуществил недавно О. И. Богоявленский [181].
Ясно, что теорема Лиувилля (как и теорема Эйлера - Якоби) указывает лишь
на принципиальную возможность точного интег-
п
Введение
рирования дифференциальных уравнений; их явное интегрирование
представляет собой самостоятельную задачу, зачастую весьма нетривиальную.
При решении уравнений вращения свободного твердого тела (1758 г.) и
уравнений задачи двух неподвижных гравитирующих центров (1760 г.) Эйлер
впервые столкнулся с проблемой обращения эллиптических интегралов. Это
обстоятельство стимулировало интерес Эйлера к эллиптическим функциям, для
которых он получил в те же годы формулу сложения. Явное интегрирование
уравнений движения в других классических задачах привело к абелевым
функциям. Тот факт, что это обстоятельство в свое время не было
