Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
специальные симплектические координаты I mod 27Г, L (|Т| ^ с) по формулам
1\Ш\ - у/с2 - L2 sin/, /2^2 = = у/с2 - L2 cos Z, I3UJ3 = L. В этих
переменных уравнения Эйлера имеют канонический вид:
sin2l cos2 А . о ,9ч L2
-1Г + -){с~ь)+й1-
дн'
дь
L = -
дн'
di
Фазовый портрет функции Н' изображен на рис. 1. Отождествляя в полосе \Ь\
^ с точки, /-координаты которых отличаются на 2л, а также точки каждой из
прямых L = -с и L = с, получим сферу Мс с хорошо известной картиной
полодий Пу-ансо. Можно показать также, что симплекти-ческая структура
(2.9) в переменных L, / равна именно dL A dl.
5. Уравнения Эйлера - Пуанкаре (2.3) не для каждой алгебры Ли g можно
привести к гамильтонову виду. Препятствием является отсутствие
инвариантной меры. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Рис. 1
30
§ 2. Уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли
Пусть / : К" = {z} -> К - неотрицательная суммируемая функция. Мера dp =
f(z)dnz называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой
области D С Кп с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D)
= JD f dnz положительно. Пусть z = v(z) - динамическая система и д* - ее
фазовый поток. Мера dp называется инвариантной мерой этой динамической
системы, если mes(дг(Э)) = mes(D) для любой измеримой области D и для
всех значений времени t. Если / - положительная функция класса С1, то
инвариантная мера называется интегральным инвариантом.
Согласно теореме Лиувилля, мера fdnz является интегральным инвариантом в
том и только том случае, когда div(/v) = п Qlfy\
= ^2 ---- = 0. В частности, фазовый поток гамильтоновой сис-
i=l OZ{
темы сохраняет стандартную меру в фазовом пространстве К2п = = {х, у}
(здесь х,у- канонические координаты).
Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера -
Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре д = {о>}.
Теорема 1. Уравнения Эйлера-Пуанкаре имеют интегральный инвариант в том и
только том случае, когда группа G унимодулярна.
Напомним, что унимодулярность группы означает наличие двусторонней
инвариантной меры. Критерий унимодулярности
имеет следующий вид: для каждого i выполнено равенство Y1 cik =
к
= 0, где с\к - структурные константы алгебры Ли группы G.
Для доказательства достаточности условия теоремы вычислим дивергенцию
правой части (2.3) как системы на д*. Она равна
Y^cHk0Ji: Следовательно, по теореме Лиувилля, фазовый поток сис-i,fc
темы (2.3) сохраняет меру dntv. Необходимость вытекает из следующего
утверждения.
Пр едложение 1. Система дифференциальных уравнений с однородными правыми
частями имеет интегральный инвариант в том и только том случае, когда ее
фазовый поток сохраняет стандартную меру. При этом плотность
интегрального инварианта (функция /) является ее первым интегралом.
Доказательство. Пусть / > 0 - плотность интегрального инварианта системы
i = v(z). Критерий Лиувилля div(/r) = О с помощью замены / = exp(-tc)
представляется в виде уравнения w = div v. Его правая часть - однородная
форма степени m - 1 (m - степень однородности векторного поля v). Так как
гг € С1, то
31
Глава I. Гамильтонова механика
vj --- 0(|z|m). Следовательно, w = 0 и divt> - 0, что и требовалось
доказать.
В случае малой размерности д можно дать более точную -информацию об
инвариантных мерах системы (2.3). Если п = 2 и алгебра д неабелева, то
уравнения (2.3) не имеют инвариантной меры с суммируемой (а не только
гладкой) плотностью.
Действительно, найдутся базисные векторы е\ и е2, для которых выполнено
коммутационное соотношение [еь е2] = С\ [48]. Поэтому уравнения (2.3)
принимают вид
т\ - т\Ш2 , m2 = . (2.10)
Все точки прямой т\ - 1\\Ш\ +
+ 1и^2 = 0, и только они, являются положениями равновесия. Фазовые
траектории - дуги эллипсов = const. Фазовый
портрет системы (2.10) изображен на рис. 2. Ясно, что каждая область D С
К2 = {u>i, и>2} при t -¦ оо неограниченно приближается к прямой mi = 0.
Поэтому система (2.10) не может иметь абсолютно непрерывной инвари- Рис.
2
антной меры.
При п = 3 условие теоремы может не выполняться лишь для разрешимых
алгебр. Последние можно описать с помощью соотношений [ei,e2] = 0, [еье3]
= aei + /?е2, [е2,е3] = 7d + <5е2, где
{ei,e2,e3} - базис в д, матрица А = ^ невырождена [48]. Бу-
дем различать случаи, когда собственные значения матрицы А\ (а)
вещественные числа одного знака; (б) вещественные числа разных знаков;
(в) комплексные числа с ненулевой вещественной частью; • (г) чисто мнимые
числа.
Предложение 2. В случае (г) уравнения Эйлера - Пуанкаре имеют
интегральный инвариант, в случае (б) нет интегрального инварианта, однако
имеется инвариантная мера с плотностью любой конечной гладкости, в
случаях (а) и (в) нет инвариантной меры с суммируемой плотностью.
В случае (г) алгебра g удовлетворяет условию теоремы. Механизм
существования инвариантной меры конечной гладкости при условии (б) легко
уяснить на примере уравнений х = 2х, у - -у,
32
§ 3. Движение твердого тела
имеющих инвариантную меру с плотностью |x|s|y|2s+1 при всех s > > 0. В
