Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
уравнений Эйлера - Лагранжа:
Последняя группа уравнений эквивалентна уравнениям связей
(1.4). Систему (1.5) можно представить в виде уравнений Гамильтона. Для
этого положим
Если форма Т положительно определена и ковекторы aj независимы, то из
этой системы уравнений можно найти q и А как функции от р и q. Положим
Переменные р и q как функции t удовлетворяют каноническим уравнениям
Гамильтона с гамильтонианом Н. Доказательство можно найти, например, в
[85 (I)].
Рассмотрим частный случай интегрируемых связей вида
Эти уравнения выделяют в пространстве положений Nn подмногообразие
размерности п-m. Экстремали соответствующей вариационной задачи со
связями (1.8) являются движениями голоном-ной механической системы с п -
т степенями свободы. Согласно
ах ¦ q= ... = am-q - 0 .
(1.4)
?дс _ дС d_8C _ дС dt dq dq ' dt QX dX
(1.5)
H=(pq-L)\.^=(T+V)\^p
(1.7)
/1(9) = • • • = fm(q) = 0 .
(1.8)
25
Глава I. Гамильтонова механика
п. 7, уравнения движения можно представить в виде 2(п - т) уравнений
Гамильтона. Однако можно поступить по-другому. Диффе-
ренцируя уравнения (1.8) по t, запишем их в виде (1.4): ¦ q =
= ... = --Г- ¦ q = 0. Вводя затем канонические переменные по dq
формулам (1.6), уравнения движения можно записать в виде 2п
дифференциальных уравнений Гамильтона, которые можно трактовать как
уравнения в "избыточных" переменных. Этот результат фактически
принадлежит Г. К. Суслову [154].
В качестве примера рассмотрим задачу о движении точки единичной массы в
евклидовом пространстве К3 = {г} по гладкой регулярной поверхности Е =
{/(г) = 0} в силовом поле с потенциалом У(г). Положим, согласно (1.5),
v-r + \?L Д- (Р./г) П9ч
"-r + V' Л-(/;,/;)' (1'9)
Движение точки описывается уравнениями Гамильтона
г = Н'р, р=-К, H=l-\r\2 + V=^(pxn)2 + V, (1.10)
где п - единичный вектор нормали к поверхности Е. Следовательно,
уравнения (1.10) определяются самой поверхностью Е и не зависят от вида
уравнения / = 0, задающего эту поверхность.
Уравнения (1.10) имеют интеграл энергии Н и "геометрический" интеграл F =
f (г). В стандартной симплектической структуре dp A dr скобка Пуассона
{Н,Г} равна нулю. Пусть д(г,г) - первый интеграл "классических" уравнений
движения г = -dV/dr + + A df /dr, f(r) - 0, a G - функция д,
представленная с помощью (1.9) в канонических переменных. Очевидно, что
{H,G} = 0, и легко проверить инволютивность функций G и F.
В общем случае уравнения (1.4) неинтегрируемы, т. е. их нельзя
представить в виде (1.8). Такие связи Герц назвал неголономными. Не
следует думать, что в этой ситуации канонические уравнения с
гамильтонианом (1.6)-(1.7) описывают движение неголономной системы с
лагранжианом L и связями (1.4). Классические неголо-номные уравнения
d dL dL л ,
= = О")
отличаются от уравнений (1.5). Фазовый поток уравнений (1.11) может не
иметь абсолютно непрерывной инвариантной меры, поэтому их в общем случае
нельзя привести к уравнениям Гамиль-
26
§ 2. Уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли
тона. Уравнения (1.5) лежат в основе вакономной динамики, развитой в
работе [85].
В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия
гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд
конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при
этом он решил некоторые задачи неголономной механики).
§ 2. Уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли
1. Пусть щ,...,ип - независимые касательные векторные поля на n-мерном
многообразии N. В каждой точке коммутаторы [ui,Uj] можно разложить по
векторам {и*} как по базису: [цг-, щ] =
f
= YjC'iM)'11*- Если / - гладкая функция на N, то / = - • q =
- S Wi(/Vn гДе ui(f) - производная от / вдоль поля щ. Переменные ш-
линейные функции от q - называются квазискоростями. Представим лагранжиан
в виде функции от q и ш: ?(ш, q) = L(q, q). В новых переменных уравнения
Лагранжа примут вид
Они впервые получены Пуанкаре [227]. Если в качестве иk взять независимые
векторы d/dqk, то уравнения Пуанкаре перейдут в обычные уравнения
Лагранжа. Следует иметь в виду, что система уравнений (2.1) незамкнута;
для замыкания надо добавить соотношения между ш и q.
2. Считая лагранжиан ? функцией, выпуклой поши возрастающей на
бесконечности быстрее любой линейной функции, выполним преобразования
Лежандра: тк = д?/дшк, Н = (т-ш - ?)|ш_т. Тогда, как известно, од, =
дН/дгпк, щ(?) = -щ(Н). Уравнения
(2.1) в переменных q,m примут вид
Они отмечены Н. Г. Четаевым [187].
3. Пусть теперь N - группа Ли G и щ,...,ип - независимые
левоинвариантные поля на G. В этом случае с|- = const. Предположим еще,
что лагранжиан ? сводится лишь к кинетической энергии, которая является
левоинвариантной метрикой ( , ) на
G. Так как q = Y,uM)^i , то L = \(q,q) - \ (J2 Y1 изшз) = = 1, гДе lij =
= const ввиду предположения о ле-
1 ^ к <С п . (2.1)
27
Глава I. Гамильтонова механика
воинвариантности метрики. В этом случае уравнения (2.1)-(2.2) имеют вид
т,- = ^2 cikmi^k , rn, = '^2 IspUp . (2.3)
