Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
векторное поле = (и\т\ ..., м^)т удовлетворяет приведенной системе
уравнений в вариациях.
Пусть Т-некоторая матрица из приведенной группы монодромии, имеющая п - 1
различное собственное направление. В подходящих координатах
преобразование монодромии принимает вид (5.7). Положим иГ^ = Uaj(t)^1 ¦
¦ ¦ а-к = т- После
обхода соответствующей замкнутой кривой на X j-я компонента поля истанет
равной
(5.12)
С другой стороны, иудовлетворяет приведенным уравнениям в
362
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
(т) ,
вариациях, поэтому компоненты vj ' умножаются на Xj:
(5ЛЗ)
Сопоставляя (5.12) и (5.13), получаем, что хотя бы для одного набора
целых неотрицательных чисел ац,..., an_i имеется соотношение
А_, = А?1 ¦ • ¦ , ]Г]ац = т^ 0. (5.14)
Итак, доказано
Предложение 2. Если имеется поле симметрий системы уравнений (5.1) с
голоморфными коэффициентами, независимое с полем v, то собственные
значения любой матрицы из приведенной группы монодромии удовлетворяют
соотношению вида (5.14).
Следствие. Если имеется поле симметрий, линейно независимое с полем v в
точках кривой Г, то А = 1 - собственное значение каждой матрицы
монодромии.
Действительно, в этом случае m - 0.
Условия вида (5.14) хорошо известны в задаче о приведении систем
дифференциальных уравнений к своей линейной части.
6. Рассмотрим гамильтонову систему
с голоморфным гамильтонианом Н
0 Еп
z=JH[, zeC2n, (5.15)
]z). Здесь J - единичная . Предположим, что систе-
симплектическая матрица "
h/n и
ма (5.15) имеет частное решение zo(t), однозначное на своей римановой
поверхности X. Положим u = z - zo(t). Тогда уравнение
(5.15) можно переписать в виде й - JH"(zo(t))u + ... Линейное
неавтономное уравнение
й = JH"(t)u (5.16)
будет уравнением в вариациях для решения zo(t). Оно, разумеется,
гамильтоново: функцией Гамильтона служит квадратичная форма (и, H"(t)u)
/2. Интегралу H(z) автономной системы (5.15) соответствует линейный
интеграл уравнений в вариациях (//'(zo(t)), и).
Система (5.16) гамильтонова, поэтому преобразования группы монодромии
являются симплектическими. Действительно, пусть ui(t) и U2(t)-два решения
системы (5.16). Легко проверить, что
363
Глава VII. Ветвление решений
функция {щ, Ju2) постоянна. Пусть Ту - матрица из группы монодромии G,
отвечающая некоторому замкнутому пути 7 на римановой поверхности X. После
обхода контура 7 функции щ, щ станут равными соответственно Тщ, Ти2.
Следовательно,
(ui,Ju2) = (TuuJTu2) = {щ,Тт JTu2),
и поэтому J = ТтJT. Таким образом, линейное преобразование и -> Ти
действительно является симплектическим. Согласно п. 4, два собственных
значения любой матрицы Т ? G всегда равны единице: одно ввиду
автономности системы, а другое из-за наличия интеграла энергии.
Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-
), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п- 1)-мерную
энергетическую поверхность H(z) = H(zo(-)) = = const. В результате
получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным
решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях
(порядка 2п - 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о
понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона
вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях.
Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются
симплектическими.
7. Задача о полиномиальных инвариантах групп симплектичес-ких
преобразований изучалась С. Л. Зиглиным в работе [64]. Ниже излагаются
его основные результаты.
Согласно теореме Пуанкаре - Ляпунова, собственные значения A1,...,A2n_2
симплектического преобразования д : С2п"2 -> С2п"2 разбиваются на пары Ai
= А"1, ..., An^i = Х^_2, поэтому в гамильтоновом случае имеется п - 1
различных соотношений вида (5.5). Назовем преобразование д ? G
нерезонансным, если из равенства А Г' " ' ^п-11 - 1с целыми следует,
что все ms = 0.
При п = 1 это означает, что А не является корнем из единицы. Пусть Т -
матрица нерезонансного симплектического отображения д. Ни одно из ее
собственных значений не равно 1, поэтому уравнение Tz - z имеет
тривиальное решение z = 0.
Удобно перейти к симплектическому базису отображения д: если z = (х,у), х
= (хи...,хп_{), у = {у\, ¦.. ,уп-х) - координаты в этом базисе, то д :
(х,у) -> (Ах, А~1у). Симплектический базис существует, если все As
отличны от единицы (1 ^ s ^ п - 1); это утверждение доказано, например, в
книге [230].
Пусть F(u) = Fs(u) - интеграл отображения Т. Тогда все
однородные формы Fs тоже будут интегралами. Пусть Г'ч(;с, у) = =
Y,fkixkyl. Тогда, очевидно, = X) ^k~'fkixkyl. Если д
364
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
нерезонансно, то s четно и Д/ = 0 при к ф I.
Теорема 1 [64]. Предположим, что приведенная группа монодромии частного
решения zo( ) гамильтоновой системы
(5.15) содержит нерезонансное преобразование д. Тогда для того, чтобы
в связной окрестности кривой Г = {z = zo(t), t ? X} уравнения (5.15)
