Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
71+ 1
последнее равенство имеет вид а"од = 0, где од, - некоторые
*=1
коэффициенты. Все векторы из множества {од,..., ап-н} в этой сумме не
могут присутствовать с ненулевыми коэффициентами (в силу п. 2 леммы 1
хотя бы для одного из этих векторов его
скалярное произведение с 6_i положительно); следовательно, все
величины равны нулю. Это может быть лишь в случае
сз = а/(?)/2' У = 1, - - -, ^; l{j) ^ ц,
v'j = -2vl(j) (al(j),b0) exp [(6', al(j))/2] , (4.8)
(a,, bo) = 0, если s ^ /j и s Ф l(q), q G {1,... ,h).
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Имеет место соотношение ц = 1.
Доказательство. Покажем, что в при /j > 1 не удастся "набрать" 2п - 1
произвольную постоянную в решении уравнений
(4.6). В самом деле, вектор фиксирован; в силу равенства
6_i = ajVj exp(b', aj) (4-9)
1=1
(см. (4.7)) на вектор Ь' наложено ц условий. Значит, Ь' содержит не более
п - ц свободных параметров. Равенства (4.8) дают ц условий на компоненты
вектора 6о, поэтому Ьо также содержит не более п - ц свободных
параметров.
Приравнивая в уравнении (4.7) коэффициенты при V, j = = 1,2,..., получаем
соотношения
bj + Gbj/\p(j + 1)] = Qj, (4.Ю)
где линейный оператор G имеет вид
Gb- asvs(ae,b) ехр(6', ай), (4-11)
а функции Qj не зависят от 6, (s ^ j).
Оператор G переводит пространство, ортогональное линейной оболочке
векторов ai,...,aM, в нуль. Следовательно, уравнение det(Е - AG) = 0
имеет Не более ц действительных корней. Таким образом, из уравнений
(4.10) можно извлечь не более ц свободных параметров. Подчеркнем, что мы
пока не интересуемся разрешимостью этих уравнений.
12 Козлов В. В.
353
Глава VII. Ветвление решений
Итак, получено не более п - р+п - р+р = 2п - р свободных параметров;
значит, р < 1. Из равенства (4.9) следует р ^ 1. Лемма
3 доказана.
Мы показали, что для существования (2п- 1)-параметрического формально
мероморфного решения уравнений (4.6) необходимо выполнение следующих
условий:
а) (b-i, ач) = -2 для некоторого se{l,2,...,n+l};
б) (6_i, а;) € Z+ для всех а; ^ Ер,
в) семейство ЕЙ может содержать кроме а, лишь один вектор а,/2.
Из равенства (4.9) и условия а) находим
(а",аа)д, ехр(6', а") = -2, (4.12)
Ь-i = -2а,/(о,,аа). (4.13)
Таким образом, условие б) представляется в виде
Итак, каждому (2п - 1)-параметрическому формально меро-морфному решению
уравнений (4.6) отвечает индекс s, удовлетворяющий условиям 1) и 2)
теоремы 1. Тем самым доказана необходимость этих условий.
Теперь проверим достаточность этих условий. Для этого каждому индексу s ?
/ сопоставим (2п- 1)-параметрическое формально мероморфное решение. Пусть
6_i удовлетворяет равенству (4.13), и пусть величины У, ?>о стеснены
соотношениями (4.8), (4.9), в которых j = l(j) = р = 1. Необходимо
доказать, что уравнения (4.10) разрешимы, причем имеется
однопараметрическое семейство решений.
Пусть s - 1. Будем считать, что а\/2 ? {ai,...,ajv} (в противном случае
коэффициент v[ при exp(ai/2,;r) в (4.1) положим равным нулю). Из
соотношений (4.11), (4.12) получаем Gb = = -2ai(a1,6)/(aba1).
Ранг оператора G равен единице, причем его ненулевое собственное значение
равно -2: Ga\ = -2щ. Таким образом, операторы Е + G/\j(j + 1)]
невырождены при j = 2,3,..., и уравнения (4.10) имеют единственное
решение при j ф\.
Запишем уравнение (4.10) при j = 1 подробнее:
bi - аДаь&ДДаьщ) = -a\vi ехр(6', аД • (аь60)2/2 -
- уДехр (V, у) • (у,Ьо) - ^//^'вхрС/цб-1), (4.14)
354
§ 4¦ Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
где /(- векторы из семейства {щ,..., адг}, для которых (/;, <ц) = О, a
v'( - соответствующие коэффициенты в гамильтониане (4.7). В силу
равенства (4.8), первые два слагаемых правой части уравнения (4.14)
взаимно уничтожаются. Следовательно, решением уравнения (4.14) является
вектор 6_i = - Yl fivi ехр(Д, 6_i) + ?ai, где 4 - нужный нам свободный
параметр.
Теорема 1 доказана.
4. Можно указать простые необходимые условия однозначности общего
решения систем с экспоненциальным взаимодействием (их частный случай -
обобщенные цепочки Тоды из п. 1) и связать их с наличием дополнительных
полиномиальных интегралов. Рассмотрим гамильтонову систему с функцией
Гамильтона
Вводя избыточные координаты v3 = схр(а3,х), и3 - (а3. у) (1 ^ j ^ ^ N),
запишем дифференциальные уравнения Гамильтона
Эти уравнения имеют, кроме интеграла энергии, ряд тривиаль-
N
ных интегралов. В самом деле, пусть Y^ak<ik = 0, ац. 6 R. Тогда
являются, очевидно, интегралами (4.15). Для действительных движений F -
О, Ф = 1. Уравнения вида (4.15) использовались ранее в работе [177]. Для
цепочек Тоды мы рассмотрели их в § 9 гл. II.
Система уравнений (4.15) квазиоднородна; степень квазиоднородности по
переменным и равна единице, а по v - двум. Поэтому для выяснения
однозначности ее общего решения можно воспользоваться результатами § 9
гл. II, восходящими к Ляпунову. Уравнения (4.15) имеют частные
мероморфные решения
Х{ = дН/дуг, гц = -dH/dXi, 1 ^ г ^ п,
в виде системы с полиномиальными правыми частями:
N
функции
