Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
дтг '
ai = ~mX' si = lx- (U1>
Форма dn однозначна, поэтому при условии А ф 0 имеем а = b - 0 и,
следовательно, m = mo, I = lo• Ниже рассматривается именно этот случай.
Приравнивая нулю (1.10), получим также соотношение для потенциала:
/оё+то§=°- (1Л2)
Из (1.11) получим аналогичное соотношение для функции А:
, д\ дХ ,
,0aS+m"^ = <x (1ЛЗ)
Если /о и то рационально несоизмеримы, то из (1.12) и (1.13) вытекает
постоянство функций 7, А, и предложение доказано. Пусть то//0 = Р/ч, а
числа р и q взаимно просты. Из (1.12) и (1.13) легко выводится, что 7 =
<р(рх - qy), А = ф(рх - qy), где функции <р и ф 27г-периодичны. Выполним
линейное преобразование х\ - рх - - ЧУ) ж2 = их + vy с целыми и, v,
удовлетворяющими соотношению
pv + qu = 1. Ввиду взаимной простоты р и q такие числа и и v су-
ществуют. Переменные Ж1,Ж2 mod 2к - искомые.
375
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
4. Рассмотрим теперь обратимую систему с двумя степенями свободы,
пространством положений которой снова является двумерный тор.
Предложение 2. Пусть система имеет условный квадратичный интеграл с
однозначными коэффициентами на поверхности Н = h, где h > max V. Тогда на
пространстве положений можно так выбрать угловые координаты х\,х2 mod 2тг
и сделать замену времени dt = ?,(xi,x2)dr, чтобы траектории движений с
энергией h описывались лагранжевой системой с лагранжианом
(x,21+x,22)/2 + r)(pxl+qx2)+((qxl - рх2), (1.14)
где rj(-) и ?(¦) -2ir-периодические функции, р и q - целые числа.
Сделаем линейную замену переменных х = рх\ + qx2, у = qx\ - - рх2. В
новых переменных лагранжиан (1.14) примет вид
х(х'2 + у'2)/2 + 1i(x) + С (у), >с~1 = р2 + q2.
Переменные х и у разделяются: функции хх'2/2+г](х), ху'2/2+((у) являются
независимыми квадратичными интегралами.
Предложение 2 - глобальный вариант известного результата Биркгофа об
условных квадратичных интегралах [18, гл. II].
Для доказательства снова воспользуемся уравнениями (1.7), полагая А = 0.
Предположим, что уравнения (1.7) имеют квадратичный интеграл
(ax'2 + 2 Ъх'у + су'2)/2 + dx' + еу' + f (1.15)
на поверхности
х'2 + у'2 + 27 = 0. (1.16)
Выпишем члены третьей степени по скоростям в выражении для производной
интеграла (1.15) по новому времени т:
1 da ,3 / db 1 da\ ,2 , (db 1 dc \ , ,2 1 dc ,3
2diX \Эх 2Фу)Х У + {д^ + Ш)Ху +2д^У •
Так как (1.15)-условный интеграл, то этот полином должен де-
/2 ,2 ^ д(а - с) д(2Ъ) д(а - с)
литься на х +у . Следовательно, ----- = 0, ----------1 +
д(2Ь) дх дУ дУ
-I--- = 0, поэтому функции а - с и b - гармонические функции
на двумерном торе. Ввиду предположения об их однозначности о - с = const,
b = const.
Отсюда, используя интеграл энергии (1.16), квадратичный интеграл (1.15)
можно преобразовать к виду, в котором коэффициенты а, b и с будут
постоянными. Дифференцируя еще раз интеграл
376
§ 1. Метод Биркгофа
(1.15) в силу системы и приравнивая нулю коэффициенты при х' ' ^7
, df Jh , 9j df
и у , получим соотношения а--|- о- = -, о- 1- с- = -ф-.
Следовательно, dx ду дх дх ду ду
Представляя потенциал 7 в виде ряда Фурье ^ vmn ехр[г(тт+ пу)], из (1.17)
получим серию равенств [(о - с)тп + Ь(п2 - т2)]г>тп = 0. Предположим, что
ит1Щ ф 0 и ит2Щ ф 0. Тогда
(а - с)тп\?ii + b(nl - ml) = (а - c)m2n2 + b(n\ - ml) = 0. (1.18)
Ясно, что среди чисел а - с и b есть не равное нулю: в противном случае
интеграл (1.15) сводится к линейному. Из (1.18) получаем, т\П\ т2п2 .
что -2----2 = -2----2 • Отсюда следует, что либо т\/п\ = т2/п2,
71-J 777^ 7^2 77^2
либо (т\/п\){п2/т2) = -1. Следовательно, целочисленные векторы (mi, т) и
(т2, п2) либо параллельны, либо ортогональны. Предложение доказано.
5. Уравнения Биркгофа (1.7) содержат две произвольные функции Л и 7.
Можно по-другому упростить исходные уравнения движения, приводя к
простейшему виду 2-форму гироскопических сил, а не кинетическую энергию.
Пусть / = FdxAdy-2-форма на двумерном торе, причем F ф 1 (
Ф 0. Положим F0 = -х I f ф 0. Оказывается, существует такой
Jti
диффеоморфизм тора (ж, у) -> (u,v), что в новых переменных
f = F0duAdv. (1-19)
Действительно, пусть а и (3 - "сильно" несоизмеримые вещественные числа,
a g : Т2 -* R - решение дифференциального уравнения адд/дх + (Здд/ду - F
- F0. Положим и = х + (а/Ff)g, v = -у + (0/Fo)g. Так как
д(и, v)
d{x,y)
Го
д(х, у)
то / = F- rdu Adv = FoduA dv, что и требовалось доказать.
д(и,v)
Этот результат является частным случаем теоремы Мозера о сводимости друг
к другу любых двух форм объема на компактном многообразии М, если их
интегралы по М совпадают [219].
Если привести форму гироскопических сил к виду (1.19), то преобразованные
уравнения Биркгофа (1.7) снова будут содержать две "произвольные"
функции: g и Л.
377
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
§ 2. Влияние гироскопических сил на существование полиномиальных
интегралов
Рассмотрим на н-мерном торе Т" = {х mod 2л} уравнения с дополнительными
силами гироскопического типа:
dV
х = А(х)х--. (2.1)
ох
Здесь Л - кососимметричная матрица, 27г-периодическая по х, V - потенциал
