Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
к=1
N
N
$ = 11^
(4.16)
к=1
Щ - Ui/t, ы = Vi/t2, 1 ^ г ^ IV;
Ui = -2Mik/Mkk; Ц- = 0, i^k, Vk = 2/Mkk.
(4.17)
355
Глава VII. Ветвление решений
Запишем-уравнения в вариациях для системы (4.15) в окрестности
N
решений (4.17): & = Л7Ц ц, г){ = Ггг]г/1 + V^/t2. Их решения
1=1
ищем в виде ?, = !рг1р1 ¦, Vi = ФгГ 2-
Для отыскания </V> фг получаем линейную однородную систему уравнений со
спектральным параметром р\
(Р - 2)фг = фг11{ + IfiVi, (р - 1 )<Рг = ^ Муф], 1 ^ i,j ^
N.
1
С учетом формул (4.17) можно найти все корни соответствующего
характеристического уравнения Ковалевской: р = 1 (кратности IV - 1), р =
-1, р = 2, а также р = 2 - 2(аг-, ajt)/(afc, а*); * 7=
Если общее решение системы (4.15) однозначно при комплексных значениях t,
то все корни р должны быть целыми числами. Следовательно, для всех
значений i,j имеем
2(щ, aj)/(aj, aj) 6 Z. (4-18)
Если векторы ai,...,ajv составляют корневую систему, то условие (4.18)
заведомо выполнено. Не исключено, что в этом случае общее решение (4.15),
действительно, представляется однозначными (но не обязательно
мероморфными) функциями t (ср. с теоремой 1 п. 1).
Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых
интегралов, полиномиальных по и и v. Легко видеть, что каждый такой
интеграл является конечной суммой квазиодно-родных полиномиальных
интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным и и v равны
соответственно 1 и 2. Итак, пусть F(u,v) - квазиоднородный интеграл
системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 § 3, если точка щ = Ui, ог =
V), где К определяются из (4.17), не является критической точкой функции
F, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических
корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому
условию; исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16).
Если имеются к квазиоднород-ных интегралов одной и той же степени т,
независимых в точке (и, v) = (U, V), то корень р = т имеет кратность не
менее к.
Предположим, что имеется "хороший" квазиоднородный интеграл степени m ^
2, независимый от интеграла энергии в точках вида щ = -2Mn./Mkk, Vi = 0
(г ф к), vk = 2/Мкк- Тогда для каждого г = 1...., .V найдется такое j ф
г, что 2(а,-, аф)1{а}, аф) ? - Z+, причем все эти величины равны. Неясно,
является ли это условие достаточным для существования "хорошего"
квазиоднородно-го интеграла. Все интегралы степени т = 1 имеют вид
(4.16).
356
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
Условия существования к дополнительных "хороших" полиномиальных
интегралов степени т ^ 2 интересно сравнить с условиями существования к
"полных" семейств мероморфных решений. Такое сравнение проще всего
осуществить для обобщенных цепочек Тоды, у которых N = п + 1. С этой
целью рассмотрим (n + 1) х (п + 1)-матрицу L с элементами Ьц = 2(а,-,
aj)/(aj, aj) (i ф j), La = 0. Если имеется к дополнительных к интегралу
энергии независимых квазиоднородных интегралов степени ш ^ 2, то,
согласно результатам § 9 гл. II, в каждой строке матрицы L найдется по
меньшей мере к целых неположительных чисел. Если же число Ковалевской
такой системы не меньше к, то по теореме 1 в матрице L имеется по крайней
мере к строк, все элементы которых являются целыми положительными
числами. Эти условия совпадают лишь при к = п + 1.
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами
1. Наряду с методом малого параметра Пуанкаре (см. § 1), известен еще
один эффективный прием исследования ветвления решений аналитических
систем дифференциальных уравнений; он предложен А. М. Ляпуновым в 1894 г.
[118] и основывается на изучении уравнений в вариациях известных частных
решений.
Рассмотрим в Сп систему уравнений
z = v(z) (5-1)
с голоморфными правыми частями; пусть zo(t) - некоторое ее частное
решение. Подстановка z = zo + ? переводит (5.1) в систему
? = а№ + ..., а = (5.2)
(многоточие означает члены порядка ^2). Линеаризованная система
i = АШ, (5.3)
как известно, является системой уравнений в вариациях для решения -го(-).
Оказывается, если система (5.3) имеют неоднозначные решения, то такова же
и исходная система (5.1). Действительно, заменяя ? на и считая ? малым
параметром, цолучим систему ? = A(t)? + O(s). Ее решения представим в
виде ряда ?о + ^1 + • • •> где ?о - решение уравнений в вариациях (5.3).
Следовательно, z = = zo + е?о + °(?). В частности, если при обходе
некоторого замкнутого контура на комплексной плоскости функция ?0()
получает ненулевое приращение, то при малых ? ф 0 это же выполнено и для
решения г(-) (теорема Пуанкаре из § 1).
357
Глава VII. Ветвление решений
Метод Ляпунова фактически использовался в § 9 гл. II при анализе
квазиоднородных систем.
2. Итак, полезно рассмотреть систему п линейных уравнений
(5.3), где элементы матрицы А - голоморфные функции, определенные на
некоторой связной римановой поверхности X. Например, если элементы A(t) -
мероморфные на С функции, то X - комплексная плоскость с некоторым
