Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
одно собственное значение матрицы Т равно единице.
Это замечание можно обобщить. Пусть u(z) - поле симметрий системы (5.1) с
голоморфными компонентами. Тогда вектор-функция Ko{t) - u(zo(t)) также
удовлетворяет (5.3). Действительно, поля и, v коммутируют, поэтому
ди дг> /к к\
-V = -и. (5.5)
ди, . ди
dz dz dv
Далее, гю = -z~{zo)zo = -z~v = -и = -(го)щ. Следователь-
dz dz я~ я ~
dz
но, Tuo(t) = uo(t) для всех Т G G(t). В частности, если имеется m полей
симметрий щ,...,ит с голоморфными компонентами, причем векторы щ,...,ит
линейно независимы хотя бы в одной точке комплексной кривой г = Zo(t), t
G X, то по меньшей мере т+ 1 собственных значений матрицы Т равны
единице.
Аналогично доказывается, что если система (5.1) допускает к голоморфных
интегралов /ь...,Д, причем их дифференциалы линейно независимы в точках z
= zo(t), t G X, то к собственных чисел матрицы Т заведомо равны единице.
Более того, при выполнении условий (dfi/dz,Uj) = = 0 спектр
матрицы Т
содержит не менее m+k + l единиц (ср. с результатами § 8 гл. IV).
5. Наличие у всех матриц из группы монодромии собственного значения,
равного единице, создает затруднения технического характера при решении
задач об интегралах и группах симметрий. Поэтому полезно понизить число
независимых переменных в уравнениях (5.3). С этой целью в окрестности
комплексной кривой Г = {z = z0(t), t Е X} введем координаты ?ъ--ч?п-1>?п
так, чтобы координатные линии переменных ?i,..., ?n-i были трансвер-
сальны Г, а кривая Г локально задавалась уравнениями ?i = ... = = ?"_i =
0. Линеаризуя исходные дифференциальные уравнения
(5.1) по ?i,... в окрестности Г получим замкнутую систему
п-1 линейных уравнений, коэффициенты которых голоморфны на X. Эту систему
будем называть приведенной системой уравнений в вариациях, а ее группу
монодромии - приведенной группой монодромии частного решения Zq(-). В § 8
гл. IV с самого начала
360
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
рассматривались приведенные уравнения в вариациях для вещественных
периодических решений. Собственные значения матриц из приведенной группы
монодромии в общем случае отличны от единицы.
Пусть F - интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной
кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных ..., ?n-i;
его коэффициенты - голоморфные функции от t G X. Ясно, что первая
нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной
линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется
однородная форма от п - 1 переменных, инвариантная относительно действия
приведенной группы монодромии.
Предложение 1. Если уравнения (5.1) допускают непостоянный голоморфный
интеграл, то собственные значения А],..., А" ] каждой матрицы из
приведенной группы монодромии удовлетворяют соотношению вида
АГ-.-А^1 =1, (5.6)
где rrik - неотрицательные целые числа, сумма которых 1.
Доказательство. Предположим для простоты, что все числа Ai,...,A"_i
различны. Тогда в некоторых переменных
... ,?"-i преобразование монодромии принимает вид
XjCj, l^j^n-1. (5.7)
Пусть
m = E^r-.-ev (s.s)
- инвариантная однородная форма степени m = Ylmj 1. После преобразования
(5.7) эта форма становится равной
ППО) = ? ОтАГ ¦ ¦ ¦ А(tm)_"ГС • • • С-Г • (5.9)
Формы (5.8) и (5.9) должны совпадать, поэтому хотя бы одно произведение
А(tm)1 ¦ - - A^"j' равно единице, что и требовалось доказать.
Если среди чисел Ai,..., An_j имеются равные, то для доказательства
предложения 1 матрицу Т следует привести к жордано-вой форме.
Следствие. Если уравнения (5.1) допускают интеграл, не имеющий
критических точек на Г, то А = 1 -собственное значение каждой матрицы
монодромии.
Действительно, в этом случае уравнение в вариациях допускает интеграл,
линейный по ?i,..., ?"_i.
361
Глава VII. Ветвление решений
Обсудим теперь вопрос об условиях существования полей симметрий системы
(5.1) с голоморфными компонентами, линейно независимых с полем v. Как
известно, компоненты щ поля симметрий удовлетворяют соотношениям
Е щ~ Е /к, • 1^г^п- (5Л0)
Положим г = 71 и = ... = ?n_i = 0. Тогда
_ ^luо (5 и)
где и°п и v°n - значения функций ип и vn на кривой Г С С". Так как т(r) ф
0, то из (5.11) вытекает, что и(r) = cv(r), с = const.
Поле и* = и - cv также является полем симметрий; оно обладает тем
свойством, что и*п обращается в нуль на кривой Г. Разложим компоненты и]
в ряды по степеням ?i,...,?"_i; коэффициенты этих рядов - однозначные
голоморфные функции на X. Пусть 7п ^ 0 - наименьшая степень первой
нетривиальной однородной формы функций ... ,и*п: и* = и^ + иГ+1^ + ... В
дальнейшем, не оговаривая особо, будем рассматривать лишь те поля
симметрий, у которых хотя бы одна форма и'^ {j < п) не равна тождественно
нулю; при этом поля г и и*, очевидно, независимы. Соотношения (5.10)
можно представить в виде
Edvi dv{
.<д' + вь"-' !<"•
Поскольку гд = ... = г>"_1 = 0 при = ... = ?"_i = 0, а разложение ип в
ряд по ?i,... ,?"_i начинается с членов порядка т, то
