Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
почти всех значений а и Ь. Совокупность мероморфных функций /i,..../"
образует мероморфную вектор-функцию /, поэтому можно говорить о вычетах
функции / в ее полюсах. Вычеты являются векторами из С"; они зависят,
разумеется, от выбора значений а и Ь.
335
Глава VII. Ветвление решений
Теорема 1. Предположим, что при некоторых a, b Е С" функция z -> f(z)
имеет полюс с ненулевым вычетом. Тогда общее решение системы (2.1) не
является однозначной функцией комплексного времени.
Теорема 2. Предположим, что:
1) при некоторых a, b 6 С" функция f имеет m полюсов, вычеты в которых
линейно независимы над полем С;
2) система (2.1) имеет к однозначных полиномиальных интегралов, старшие
однородные формы которых почти всюду независимы.
Тогда тп + к Г п.
Рассмотрим простой пример. Пусть п = 1 и F = sn(2K:r/7r, х), где К -
полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как f имеет простые
полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение
многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального
интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется
однозначный полиномиальный интеграл - интеграл энергии, однако в
комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые
точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1)
при вещественных значениях х значительно сложнее; для потенциальных полей
с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в § 5 гл.
IV.
Пусть силы потенциальны (Гч - -dV/dxa), и потенциал V является
периодической мероморфной функцией. Тогда уравнения
(2.1) допускают интеграл энергии, являющийся однозначной полиномиальной
функцией. Поэтому m ^ л - 1. Легко привести примеры потенциальных силовых
полей, для которых m = п- 1 (см. п. 3).
2. Доказательство теорем 1 и 2 использует искусственное введение
малого параметра и основывается на идеях § 1.
Предложение 1. Предположим, что при некоторых a, b функция z -* fj(z)
имеет в точке zo полюс с вычетом Q. Тогда при достаточно больших
значениях |а|, а € С, решение системы
(2.1) с начальными условиями т(0) = b. х(0) - aa продолжается в некоторую
кольцевую окрестность точки to - z0/a, причем при обходе точки to
скорость xs испытывает скачок 2iria~1 as^j +о(а"1), где || а-7s || -
матрица, обратная к ||ау||.
Для доказательства предложения 1 перепишем систему (2.1) в виде системы
уравнений первого порядка:
xs = vs, Vg - ^ ^ i 1 ^ s ^ n, (2-3)
336
§' 2. Ветвление решений и полиномиальные интегралы
и сделаем подстановку vs = aus, ( = т/а. Обозначая штрихом
дифференцирование по т, из (2.3) получим уравнения
х'8 = иа, и'в = ? ^ Fj, ? = а~2 ¦ (2-4)
Считая ? малым параметром, рассмотрим прямую х - ат+b как решение
невозмущенной системы. Для завершения доказательства предложения остается
воспользоваться теоремой Пуанкаре о разложении решений уравнений (2.4) в
сходящиеся ряды по степеням е и теоремой Коши о вычетах. Теорема 1 -
очевидное следствие этого утверждения.
Для доказательства теоремы 2 будет использована следующая
Лемма 1. Старшая однородная форма однозначного интеграла уравнений (2.1)
не зависит от переменных х.
Действительно, старшая однородная форма полиномиального интеграла
является интегралом задачи о движении по инерции по п-мерному тору Т71 =
{х mod 2л-}. Будем считать х вещественными угловыми координатами. Тогда
действительная и мнимая части однородной формы также являются интегралами
уравнений ха =0. Так как х8 = const и почти все траектории этой системы
всюду плотны на Т", то любой вещественный периодический интеграл зависит
от скоростей х", что и требовалось доказать.
Лемма 2. Предположим, что выполнены условия предложения 1, и пусть
Ф(гц,..., vn), va = х", - старшая однородная форма однозначного
интеграла. Тогда
(2-5)
Доказательство использует постоянство интеграла на ветвящихся решениях из
предложения 1. Замена = aus переводит полиномиальный интеграл системы
(2.3) в интеграл системы (2.4), аналитической по а-1: Ф(и) + а~1Ф(гц х)
¦+ ... Эта функция инва-
риантна при подстановке
н, -> и8 = и8 + 2nia~2 ^ a*3Q + о(а~2),
xs -> х( = xs -f 0(a~2).
Следовательно, Ф(и') + а~1Ф(и', х') + ... = Ф(") + а_1Ф(н, х) + ...
Дифференцируя это равенство по а, умножая на а3 и полагая затем а -" оо,
приходим к соотношению (2.5).
Условие (2.5) геометрически означает ортогональность градиента Фу и
вычета Если система имеет m независимых вычетов
337
Глава VII. Ветвление решений
и к интегралов с независимыми градиентами старших форм, то, очевидно, т +
к ^ п. Эти рассуждения доказывают теорему 2.
3. Приведем пример потенциального силового поля, для кото-
sin сС
рого гп - П - 1. Положим V = - У") --7---~ Г i где аь • • • I ап-1 -
J=1 sm(xn - Oj)
вещественные числа, не сравнимые друг с другом по модулю 27г. Рассмотрим
в Сп прямую х% - ... = xn~i = 0, хп = z. Ясно, что
fi = Sin_1(2 - ai), ..., /"-1 = sin_1(z - a"_i).
Эти мероморфные функции имеют несовпадающие полюсы первого порядка в
