Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
симметричный линейный оператор. Аналогичное явление имеет место и при
вращении сверхпро-
8Н (дН
^ХР + РХ{д^Хе
+
ЭК ( дН\
то т = ёхр + ехр = - -- xjj + ex \р х --
др \ дт)
40
§ 3. Движение твердого тела
водящего твердого тела (эффект Лондона). Если тело вращается в однородном
магнитном поле с напряженностью Н, то на него действуют магнитные силы с
моментом В х Н. Применяя теорему моментов, запишем уравнения вращения
твердого тела гг форме уравнений Эйлера - Пуассона (в подвижном
пространстве):
Iw + w х Iw = (Aw) хН, Н + шхН = 0. (3.17)
Мы пренебрегли гиромагнитным эффектом де Гааза - Эйнштейна (двойственным
эффекту Барнетта), состоящим в закручивании ферромагнетика вокруг оси при
его намагничивании. Полная теория вращения твердого тела в магнитном поле
содержится в работе [38]; впрочем, при Л = ХЕ, X = const уравнения (3.17)
являются точными. В этом важном частном случае их можно переписать в
более удобной форме:
Iw + w х Iw = e(w х 7) , 7 + шх7 = 0, (3.18)
где 7 = Н/|Н|, е = А|Н|.
Поскольку (w xj,w) - 0, магнитные силы не совершают работы и поэтому
являются гироскопическими. Введем по обычному правилу 2-форму
гироскопических сил Г, положив r(a;i,u;2) = e(wi х х 7^2) = -?(7)^1 х
ш2)- Можно проверить, что форма Г точна: Г = dip, где 1-форма <р задана
равенством p(w) = -e(j,w). Отсюда следует возможность представления
уравнений (3.18) в форме уравнений Лагранжа с глобально определенным
лагранжианом (см. [91]; ср. с замечаниями п. 8 § 1). Действительно, вводя
функцию L = (Iw, w)/2+X(w,'f), уравнения (3.18) можно записать в виде d
dL dL 8L
- yj +w х - = - Х7,7 + о;х7 = 0, и трактовать как уравнения
Пуанкаре на группе 50(3) с лагранжианом L. Представим уравнения Пуанкаре
в виде уравнений Гамильтона. Для этого положим m = dL/dw = Iw + А7 и
введем гамильтониан Н(т, 7) = \(т, w) -
- L(w,j)] • В переменных т, 7 уравнения (3.18) приобретают
вид уравнений Кирхгофа
дН дН . дН п.
m = mx_+7x_, 7=7х - (3.19)
с функцией Гамильтона
Я = ~(I ^m, т) - X(Гхт,ч) + у (ЯХ7Л) =
= (Я!(т - А7), (т - Л7)). (3.20)
Эта функция неотрицательна, но не является положительно определенной. С
точки зрения задачи Кирхгофа, уравнения (3.19) с
41
Глава I. Гамильтонова механика
гамильтонианом (3.20) описывают динамику безмассового твердого тела с
винтовой симметрией в безграничном объеме идеальной жидкости.
9. Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого
тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно
вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела.
Эта система имеет четыре степени свободы; пространством положений
является прямое произведение 50(3) х 51. Кинетический момент ротора как
вектор подвижного пространства постоянен; обозначим его Л. Полный
кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен т + Л =
1ш + Л. Если на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой
скорости ш удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера
/сп -j- сп х (/ел Л) = 0 . (3.21)
Это уравнение впервые получено Жуковским (1885 г.) в задаче о вращении
твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью.
Впоследствии (1895 г.) оно было проинтегрировано в эллиптических функциях
Вито Вольтерра в работе, посвященной теории движения полюсов Земли.
Уравнение (3.21) есть уравнение Пуанкаре на алгебре so(3) с лагранжианом
Т = (1ш + \,ш)/2.
Уравнения движения более общей задачи о вращении твердого тела с
несимметричным ротором уже не имеют простой групповой структуры.
Гамильтонов формализм в этой задаче изложен в работе [67].
10. В заключение рассмотрим задачу Чаплыгина из неголоном-ной механики -
задачу о качении без скольжения уравновешенного, но динамически
несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Динамика шара
описывается в 16 = {^,7} системой
т+шхт = 0, 7+о;х7 = 0, т = /сл+ра2[7 х (07x7)] . (3.22)
Здесь ш-вектор угловой скорости вращения шара, 7 - единичный вектор
вертикали, / - оператор инерции шара относительно его центра, ц - масса
шара, а - его радиус. Формально при а - О получаем уравнения Эйлера.
Уравнения (3.22) имеют четыре интеграла: (ш,7), (ш, ш), (7,7), и
интегральный инвариант с
плотностью
/ = [(/ш2)-1 - (7, (I + Аш2ЕУ Ч)] ~1/2 (3.23)
Это обстоятельство позволило Чаплыгину свести интегрирование уравнений
(3.22) к гиперэллиптическим квадратурам (детали см. в [172]).
Интегрируемые обобщения задачи Чаплыгина даны в работах [90, 124].
42
§ 4- Колебания маятников
§ 4. Колебания маятников
1. Движение математического маятника длины I в поле силы тяжести с
ускорением д описывается дифференциальным уравнением х + о;2 sin ж - 0,
сы2 = д/l, где х - угол отклонения маятника от вертикали. Если энергия
маятника h = х2/2 - ш2 cosx отлична от ш2, то sin(x/2) и cos(x/2)-
эллиптические функции времени. При h = w2 имеем
sin(x/2) = th(a;(t - to)) • (4-1)
Эта формула задает двоякоасимптотические движения маятника к верхнему
неустойчивому положению равновесия. На фазовом портрете им отвечают
