Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ЕРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Тогда имеем (z' = 0):
Ф’(х, 0, *) = f f
V(x-xy-
•де k2 — ctg2 at.
Желая выбрать (F'), s зависимости от того, ЕИСТИК, выходящий из
мы должны рассмотреть отдельно три случая, как расположена точка М. Конус
характе-М, всегда пересекает плоскость (х, у) по гиперболе !), ибо
плоскость (х, у)
должны положить :
Так как уравнение нашей ветви гиперболы будет
x<k\z\. т. е. \ г\ > tg^x,
результат, уже известный нам по плоской задаче.
Во втором случае мы должны принять за (F') сегмент, отсекаемый от нашей
гиперболы отрезком АВ (рис. 96), т. е. написать
’) Мы берём лишь ту ветвь гиперболы, которая уходит на —со.
Ф' = - f c(x-krchu)du (28.2'
ircha=ln(a+V^=ri)]. и если предположить, что с (0) = 0. i
K=^-,JiAcix-krchu)d‘=
=Jo ^m=w^wdx'-
vr=4F= f kchu-^c(x-~krchu)du^
_ 1 X ~r rdc(x') x-x' ,
~~J0 ~zrn
г% + {2 VW^W^Wfl^ix'L№,_0
^ 7 <n.№l*w"* =
2'№J I J, 7? Vb~4y=vXdx'JRitdh
(28.31)
256 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. г
/l-**tg*pe го'
Сопротивление такого конуса, рассчитанное по (28.31), j pjt/2/2 и на
площадь wtg2[)or2 основания конуса, будет
В случае снаряда произвольной формы рассмотрим на линии его
меридионального сечения густой ряд точек О (0, 0), Мх (хх, Rj), ... ....
MN(xN, Rn). Равенство (28.30) должно быть справедливо для любого х;
запишем же его N раз, вставляя вместо х последова-х2 xN. Булем теперь
считать все дуги OMv
МХМ2, ..., MN_XMN за отрезки прямых линий, т. е. представим себе, что
снаряд построен из отрезков конусов, имеющих каждый свой угол раствора;
тогда в пределах каждой из упомянутых дуг величина dc/dx' будет сохранять
постоянное значение (на дуге ОМх
Я, f
/
V{xn-xJ-#Rl
1 Rn — Rn-x_
k xn — xn_t
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 257
Придавая п последовательный ряд значений п = 1, 2, .. ., N, мы получим
систему N линейных уравнений для определения N величин Кх, К2, ..., KN.
Заметим, что система наша такова, что в первое (при л=1) уравнение входит
только Кх, во второе — только Кх
и Къ в «-е — Кх, К2.Кп. Таким образом мы можем сперва
найти Кх из уравнения первой степени (п= 1), затем вставить Кх в
уравнение при п = 2 и найти К2 из этого уравнения и т. д. После того как
Kt найдены, давление р'п в точке (хл, /?п) найдётся в виде
= Pi,;|^(.rch^±ML-arch *?-*»;? + *«<-. ).
а поделённое на р^/2 и на площадь основания itR2N сопротивление Сх
снаряда может быть вычислено по формуле (28.31):
VT 1 f VI ( хп — xl~\~ kRi
S^^(L4ar‘h—-
(28.34)
ную оси симметрии снаряда и w — перпендикулярную к этой оси;
причём и будет величиной конечной, a w — в силу малости угла — бесконечно
мало. Поместим начало координат по-прежнему в вершине
258
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t
снаряда и направим ось х цилиндрической системы координат г, 0, х вдоль
оси симметрии (рис. 97). Будем теперь искать потенциал Ф' в виде суммы
трёх потенциалов Ф', Ф' и Ф':
Ф' = Ф'-|-ф'-|-Ф', (28.35)
и представляет плоско-параллельный поток скорости (бесконечно малой
величины w), бегущий параллельно плоскости, проходящей через направление
Vj и через ось снаряда; Ф' представляет уже разобранный нами потенциал
осесимметрического обтекания, получающегося от того, что снаряд помещён в
поток скорости и (она же приближённо равна t»i), а Фз — не обладающий
осевой симметрией потенциал, получающийся из-за наличия, кроме скорости
и, ещё и боковой скорости w. В силу линейности задачи, такую суперпозицию
трёх решений строить совершенно законно.
Чтобы найти Фг достаточно, как мы это уже и делали, отправляться от
обладающего осевой симметрией решения уравнения (28.28) (м^г/i). т. е.
искать Фг не зависящим от 0. Чтобы найти Фз, нам надо обратиться к
полному уравнению (28.28).
Феррари и Цзянь предлагают искать Фз в виде
Фз = cos ЬР (х, г). (28.36)
Тогда (28.28) даст
\ a2 J дх2 г дг дг2 г2
Но теперь легко видеть, что в качестве F можно принять
(28.37)
где Ф' — выражение вида (28.29). Действительно, продифференцировав по г
уравнение
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ 259 (28.29), мы можем
Фз(*. г, 0) = k cos 6 f с2(х — kr ch и) ch и du —
—-----—s B~ f Cn(x') -?= =v.— dx',
r x’-o JV(x-xy-k’r*
где c2(x') — функция, подлежащая определению.
Что же касается ФгСк, г), то его мы ищем по-прежнему в виде
(х — kr ch й) du —
ie с j (х') — функция, определяемая, как это уже было проделано >ице, из
интегрального уравнения (28.30), где вместо с стоит cv Краевое условие
задачи (28.18) напишется теперь так:
>з(я, х) ~ (Ф, + Ф( + Фг + Фз) + cos (я, г)-^(Ф; + Ф5 + Ф') +
+ cos(«, 0)1^-(ф; + ф;)=О
зи г — R (х) (уравнение контура снаряда). Но
cos(ti, х)~б. м.; cos(«, г)= 1 —f-б.м., cos (я, б) = 0,
ж что, оставляя малые первого порядка, получим:
(дФ'Л (дф'Л cos (я, JC)v1 + t»1pcos0+^-3rjr=/?4-[-grjr=/? = O.
зи, если разделить члены, содержащие 9 и свободные от 0:
, (дФ'Л _ (дФ’Л
cos (я, — ^ — ^cos6+^jr=/? = 0.
ервое из этих уравнений даст
*** ,, + Г Т* =0.
dx }r,tn V(x — xy — k*r* dx' j
