Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
точек, которые не лежат на оси, и в которых скорости уже известны.
Решим задачу о получении плавного потока (сопло Лаваля). Пусть в точке С
мы имеем нужную нам сверхзвуковую скорость, и CD (рис. 80) есть
характеристика второго семейства, проходящая через С. Так как в
осесимметрических задачах нет интегрируемых комбинаций характеристик, то
здесь не будет, вообще говоря, и прямолинейных характеристик, а потому
применить метод, данный в § 12, нам здесь не удастся. Но всё же одна
прямолинейная характеристика (след в меридиональной плоскости
характеристического конуса с осью, совпадающей с осью Oz) может
существовать и здесь, а именно, она получится для потока, параллельного
оси Oz и обладающего всюду постоянной скоростью. Как раз такой поток мы и
хотим получить «вправо» от точки С; проведём же через С заранее
прямолинейную характеристику первого семейства. Чтобы подобрать вид
стенки, начиная от точки D «вправо», нанесем на прямолинейной
характеристике (так же, как и на кривой CD) ряд точек и, пользуясь
операцией 1, начнём узнавать скорости в криволинейном четырёхугольнике,
рассмотренном в задаче 2 (§ 11). Если мы возьмём крайнюю точку на
прямолинейной характеристике достаточно далеко, нам надо будет затем лишь
построить (путём интерполяции) линию тока, проходящую через D. Её мы и
можем принять за искомую стенку.
Переходим к внешним задачам и прежде всего к вопросу об обтекании
конического острия. Случай этот не поддаётся нашему методу, ибо на таком
острие г = 0, а в, ^ 0 и 8 обращается в оо.
§ 27. Осесимметрическое обтекание круглого конуса. Конические течения.
Обтекание осесимметричных тел. Пусть поток, обладающий постоянной
сверхзвуковой скоростью v1 > й7, набегает на круговой конус с вершиной в
точке Р и с осью вдоль оси Oz. Перед конусом образуется коническая
поверхность разрыва (рис. 81) с вершиной в Р; на этой поверхности линии
тока претерпят, как всегда, излом, а затем начнётся обтекание конуса. В
противоположность тому, что мы имели в плоской Р
задаче при обтекании угла (§ 13 и Рис. 81.
рис. 32), линии тока, после прохождения разрыва, станут здесь кривыми.
Простота задачи обтекания конуса заключается, однако, в том, что скорости
будут иметь одну и ту же величину и направление во всех точках какого-
либо конуса с осью Oz и с вершиной в Р. Таким образом, наш поток не
только не будет
230 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
зависеть от полярного угла б плоскости, перпендикулярной к оси Oz, но
также не будет зависеть от расстояния s от точки Р. Вводя в
меридиональной плоскости (z, г) (плоскости, проходящей через ось Oz)
полярные координаты (с полюсом в Р) s и ср, будем таким образом считать,
что скорости vr и vz зависят лишь от ср:
«, = «*(?); «г = »,(?)• (27.1)
В плоскости (vz, vr) мы получим, исключая ср из (27.1), некоторую кривую
vr = f(vz)-
отвечающую обтеканию нашего конуса. Построим эту кривую. Для этого
обратимся к уравнениям (25.5) и (25.6) (2=0) и, перейдя в них к
переменным s и ср, положим dvrjds = dvjds = 0. Получим вместо
(25.5) после простых преобразований:
^r + ctgcp^f-=0
= = = (27-2)
Отсюда заключаем, что направление Рис. 82. нормали в некоторой
точке М' нашей
кривой f(vz) в плоскости (vz, vr) будет совпадать с направлением того
радиуса-вектора в плоскости (г, г) (угол ср), скорость точек которого
изображается точкой М' в плоскости (vz, vr) (оси Oz и Ovz совпадают; рис.
82).
Обратимся теперь к уравнению (25.6). Оно примет в полярных координатах
вид:
[(oS_„!)sln4+w,n.tcoSfJ^_
— [1>Л s№ т + (ог — vf) sin •( cos <р] iiL. = a2Vr,
и если заменить dv./dy на dvrjdvz • dvjdy = f' dvjd<f, то можно найти
выражение для dyjdvz:
rfcp _ (а2 — v§ sin2 ср + vrvz sin ср cos у — vr vz sin V' — (a2 — v2r)
sin у cos у/ dvz a2vr
Наконец, заменяя f no (27.2), мы получим:
rfcp _ a2 — {yz sin у — vT cos <p)2 ^
Вставляя сюда ср, выраженное по (27.2) через /, беря vr = /(vz) и а2 по
уравнению Бернулли, получим дифференциальное уравнение
ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 235
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. |
Для удобства можно вновь обратиться к гипоциссоиде (7.14), но теперь
вместо vx следует подставить в эту формулу v2 — скорость, возникающую
после прохождения разрыва1). Уравнение для (г/, примет вид (аналог
(13.3)):
х+1
Vt + -
Так как теперь щ < ах, то гипоциссоида (27.5) будет иметь иной вид, чем
рассматривавшиеся до сих пор. Именно, кривая (27.5)
состоит из изолированной точки vz = v2, vr = 0 и из линии,
располагающейся в полосе 2i>2/(x-j-l) + a2jv2 > vz a2jv2 (см.
рис. 90),
g пересекающей ось vz в точке
и имеющей асимптоту
®*=2с2(*+1) +«!/Ч-
Кривая L будет теперь «начинаться» на гипоциссоиде, а «заканчиваться» на
оси г (в точке В), где и определится скорость vx.
Оба типа течений, рассмотренных нами, реализуются только при наличии
конической поверхности сильного разрыва и являются течениями сжатия.
Следующим образом доказывается, что движение
2-го типа не может существовать без поверхности сильного разрыва. Пусть
