Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Теоретическая гидродинамика. Часть 2
Автор: Кочин Н.Е.Другие авторы: Кибель И.А., Розе Н.В.
Издательство: Физматлит
Год издания: 1963
Страницы: 728
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183
Скачать:
Н. Е. КОЧИН, И. А. КИБЕЛЬ, Н. В. РОЗЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОМЕХАНИКА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
И. А. КИБЕЛЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЁРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963
ОГЛАВЛЕНИЕ
13 В а вторая. Движение вязкой жидкости (//. Е. Кочин) ‘) . . . 369
>) § 10, § 19, § 20, часть § 34, § 35 и § 36 написаны И. А. Кибелем.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЁРТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ А. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
§ 1. Введение. Газовая динамика — это гидродинамика больших скоростей и
малой пространственной протяжённости. Области её применения суть:
конструирование скоростных самолётов, внутренняя и внешняя баллистика,
теория паровых турбин, теория ракет и т. п. Малая пространственная
протяжённость изучаемого явления позволяет отбросить в уравнениях газовой
динамики внешние силы (совершенно так же, как это делается в обычной
теории крыла аэроплана). Действительно, абсолютное значение изменения
давления | Ар |, происходящего благодаря наличию силы тяжести, при
перемещении по вертикали на Дд будет:
и если принять Т за 273, то для изменения давления на 1 % понадобится
перемещение по вертикали примерно на 80 м. Этот вывод подтверждается
также и принципом подобия, согласно которому действие внешних сил будет
тем меньше, чем меньше будет масштаб
Вторая особенность газовой динамики — наличие больших скоростей —
заставляет отказаться здесь от рассмотрения несжимаемой жидкости.
Действительно, несжимаемая жидкость, имеющая давление pv плотность pj и
движущаяся со скоростью vv приобретает, набегая на препятствие (v = 0),
давление
! I = gP Д* — Дг,
отсюда
[АД I _
287- Т
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ
ещё больших температурах — с их ионизацией. Поэтому мы должны быть
подготовлены к необходимости использования более общих законов
термодинамики, чем те, с которыми приходится иметь дело в акустике,
динамической метеорологии и в классической механике сжимаемой жидкости.
§ 2. Уравнения гидродинамики в форме интегралов. Сильные разрывы.
Уравнения движения могут быть записаны, в нашем случае, в виде
(приращение количества движения равно импульсу силы):
(fffeV“j,_r ~{fMeV<2Л>
[(т)—произвольный объём жидкости, ограниченный поверхностью (S), п —
единичный вектор внешней нормали к (S), tl и t2 — два каких-то момента
времени]. Уравнение неразрывности естественнее всего при
<2-2)
Уравнение энергии [приращение живой силы частицы (т), сложенное с
приращением внутренней энергии f J j" pU di, где U — внутренняя энергия
единицы массы, равно работе внешних сил, приложенных к частице] имеет
вид:
+!(//
— — f f pV-nds'jdt. (2.3)
Все три уравнения [(2.1), (2.2), (2.3)] могут быть записаны сле-
дующим образом:
-/(Я'**)"- <2-4'
причём в первом случае
а = pV. сп = -рп, (2.5)
во втором
а = р, с„ = 0, (2.6)
§ 2] УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ
13
и будет искомой скоростью. Но
ШР dF х ~х-г g дх . ? • • .
F(x\ у», Л t + t') = 0 = F(x + ^Fx, .... / + *') =
= F {х, у, г, t) + (F'l + F2 _}_ /я) _j_ /у _|_ 0 Щм~*2) _|_ о (*'2).
Здесь и далее символ 0{l'2) означает: «величина порядка I'2».
Далее, F (х, у, z, t) = 0, так как точка М(х, у, г) лежит в момент t на
поверхности Е, и потому
ем важную формулу
/(?)'+(?)+(4
Величина N носит название скорости перемещения поверхности разрыва. Она
имеет чисто геометрический характер и никак не связана с существующим
движением жидкости. Однако, поскольку речь идёт о перемещении поверхности
Е в движущейся, в свою очередь, жидкости, представляет интерес ещё и
другая величина — именно скорость, с которой поверхность разрыва Е
перемещается от одной жидкой частицы к другой (скорость эта была бы равна
N в случае, если бы жидкость покоилась). Чтобы найти эту скорость в
каждой точке М поверхности Е, достаточно, очевидно, вычесть из скорости N
величину Vп проекции на нормаль п к поверхности Е скорости V движения
жидкости в этой точке М поверхности. Полученная величина
8 = iV — Vn (2.10)
носит название скорости распространения поверхности разрыва. Заметим, что
если Vп будет претерпевать разрыв, то то же будет происходить и с 0,
§ 2] УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ 15
где г — бесконечно малый радиус.цилиндрика, а ех— величина бесконечно
малая; второй же:
ъгЧ _ (/2 — /1) -j- ?2r2 (^2 — ^i) > где s2 бесконечно мала. При этом как
в том, так и в другом случаях мы разумеем под 6 значения скорости
распространения в одной и той же точке Жив один и тот же момент времени
tx — значения, вычисленные при приближении с разных сторон к поверхности
V).
Теперь мы можем написать:
(Я / +
(/Я«*),=а-*л- ('= - '?>+<'*-»
(гг — всюду в дальнейшем бесконечно малые величины), и следо-
(Я/«Я-(///“-),=
= - -/-2 (t2 - (а+в+ - а_6_) + e5r2 (t2 - tx) =
= - г,г2 (t2 - tx) [о0] + e5r2 (t2 - to.
жуточные положения, располагаясь
где-то между «нижним» и «верхним» основаниями (рис. 3). Отсюда
получается, что ДЕ находится за весь промежуток времени
