Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
что уравнение Бернулли
пишется здесь так же, как и в плоской задаче. Однако характеристики в
плоскости ('vz, vr) не будут теперь эпициклоидами и даже более того, они
аналогично характеристикам в плоскости (z, г) не могут быть найдены до
тех пор, пока движение не определено. Происходит это вследствие наличия в
(26.1) и (26.2) правых частей. Легко видеть, что наша задача представляет
формальную аналогию с рассмотренным нами в § 8 случаем плоского вихревого
движения. В самом деле, соотношения вдоль характеристик в плоскости (vx,
vy) в вихревой задаче представлялись в виде неинтегрируемых комбинаций
(9.18) и (9.19), заменяемых при практических расчётах уравнениями типа
(13.4), (13.6). Но (26.1), (26.2) отличаются от (9.18),
(9.19), кроме того, что вместо х и у в них стоят z и г, только видом
коэффициента при dz; при этом коэффициент при dz в (26.1) и (26.2) даже
проще, чем коэффициент при dx в плоской задаче (последний содержит
подлежащую сложному определению величину 2). Что же касается до
характеристик плоскости (Z, г), то они определяются по формулам (25.8),
т. е. совершенно так же, как
15 Теоретическая гидромеханика, ч, II
226 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
характеристики в плоскости (лг, у); уравнения (25.8) по-прежнему
эквивалентны соотношению
1^1=*
(п — нормаль к характеристике); уравнение Бернулли справедливо в прежней
форме; можем легко провести характеристики в плоскости (г, г).
Обращаясь к задачам типа 1, 2, 3 и 4, рассмотренным в § 11, заметим, что
для приближенного (графического) решения их здесь, как и там, достаточно
научиться следующим трём операциям:
1) находить скорость в точке пересечения характеристик разных семейств,
выходящих из двух различных, близко расположенных точек, в которых
скорости уже известны;
2) находить скорость в точке пересечения с заданным элементом стенки
характеристики, выходящей из близкой к стенке точки, в которой скорость
известна;
3) находить скорость в точке пересечения характеристики, выходящей из
точки, близкой к некоторой свободной поверхности, с заданным элементом
этой свободной поверхности.
Научимся сперва операции 1.
Операция 1. Пусть в близких точках Mj и М2 плоскости (z, г) (рис. 77)
известны скорости; отметим в плоскости (v2, vr) точки Mi и Мг, координаты
которых суть компоненты скоростей в точках Mi и М2 соответственно. Через
точки Мг и М2 Г V* проведём элементы характеристик разных се-
м/Ч мейств до их пересечения в (пусть для
I конкретности MXNX — элемент дуги характе-
1^1 ристики первого семейства, а М2Ыг— второго
_____________________z семейства). Это построение можно выполнить,
O' вычисляя г\ 2 по (25.8). При этОм, как и в пло-
Рис. 77. ской задаче, элементы характеристик следует
заменять элементами касательных к характеристикам. Чтобы найти скорость в
точке Л^, рассуждаем так. Перемещаясь по элементу MXNX в плоскости (г,
г), мы будем, вследствие (26.1), перемещаться в плоскости (v2, vr) по
элементу прямой
[® -(«*)«,]= [ rffil [(2)л'“(г)-И^ (26'3)
где постановка значка Мх при скобке означает, что выражение в скобке
вычисляется в точке Мх. С другой стороны, перемещаясь
228
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Заменяя в случае первой характеристики \dz\ на \dz\ -
ь характе ds2
"УТТ7‘
" V1 +Г* ’
где ds1 — длина дуги вдоль характеристики (например, отрезок M1Nl рис.
77), а для S2: \dz\ = rds2 и замечая, 1
Vi+r'iVi+r'i (см. вывод для плоской вихревой задачи § 13), получим:
>1= Иг1; -М
(26.5)
Остаётся только найти, с какой стороны от той или иной точки плоскости
(v2, vr) надо проводить на расстоянии 8г или 82 наши характеристики,
иначе говоря, надо знать знак проекции 8Х и 82 на
какую-либо ось, например, на ось Oz. Из элементарных геометри-
ческих соображений получим, что
sign прг 8Х> 2 = sign (vr 2 1 2 2 dz^j = sign (у\ — a2) dz\. (26.6)
В качестве примера рассмотрим движение внутри трубы заданной формы,
обладающей осевой симметрией по отношению к оси Oz.
Предположим, что в некотором произвольном сечении трубы АВ (рис. 80,
рассматриваем одну только полуплоскость) скорость движения превышает
звуковую и нам известна. Нанесём на отрезке
АВ ряд точек А, Мг, М2, ... и
через все эти точки проведём ; менты характеристик первого мейства.
Характеристику, выходя щую из Мj, доведём до Пересе чения с контуром в
точке Nx и пользуясь операцией 2, найдём скорость в Afjj проводя затем из
Afj элемент характеристики второго семейства до пересечения в точке N2 с
характеристикой первого семейства, идущей из М2, найдём с помощью
операции 1 скорость в точке N2 и т. д. Заметим, что скорости точек,
лежащих на оси Oz, должны находиться из условия vr = 0 (скорость
направлена там вдоль оси Oz); при этом, желая найти 8 для точек оси Oz,
мы должны будем вычислять там выражение vr/r = Q[Q. Последнее надо
заменить на dvr/dr, так что при
Рис. 80.
j .,7J ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 229
вычислении S в точках оси трубы придётся брать значение vr/r для соседних
