Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Vn — 0, т. е.
cos (л, х)ц2+(ц;) = 0 на (F). (29.7)
Это последнее уравнение и должно служить для определения циркуляции -р
(л/, у').
Для дозвуковых скоростей уравнение (29.4) позволяет сделать одно важное
заключение. Замена переменных
ПОТЕНЦИАЛ УСКОРЕНИЯ. ТЕОРЕМА ПРАНДТЛЯ — ГЛАУЭРТА
приведёт (29.4) к виду: <р(х, у,
но это в точности совпадает с потенциалом ср для жидкости несжимаемой.
Отсюда выводится следствие: подъёмная сила тонкого
крыла, помещённого в поток сжимаемой жидкости, имеющей на бесконечности
скорость гч и плотность р., будет в — -.......1 раз
У 1 — (vi/a,)2
больше подъёмной силы того же крыла, помещённого в поток несжимаемой
жидкости плотности и скорости v: на бесконечности. Эта теорема была
доказана Прандтлем и Глауэртом.
Обратимся к сверхзвуковым скоростям и напишем (29.4) в виде'):
Ф(*. У’ *)= -^4- [ Ж=. (29.8)
44 у } 2* dz ’{F)J V(x-xy-k>[(y-yy + ztl
причём, как и прежде, будем считать <рн=0,
если (х— х'? < k2 [(у — у'УгЦ, так что площадь (F') будет выбираться, как
в предыдущем пункте.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда крыло есть трапециевидная
пластинка, наклонённая под углом р к плоскости (х, у); пусть в проекции
на плоскость (х, у) крыло даёт трапецию ABDC (рис. 98), так что передняя
кромка расположена по стороне АВ (она лежит на оси у), и крыло имеет
размах АВ = Ь, а ширину OE — t.
I OBD = / О АС = -J — 0О.
Начало координат — в середине передней кромки.
Из точек А, В, С, D проведём конусы характеристик, т. е. прямые круглые
конусы с вершинами в этих точках, с осями, параллельными оси х, и с
углами раствора 2alt где
Линии пересечения этих конусов с плоскостью (х, у) изображены на рис.
982). Чтобы найти поля скоростей и давления, вызываемые наличием этого
крыла в некоторой точке М(х, у, z) пространства
‘) <р берётся удвоенным против (26.3), чтобы сохранить за ? смысл
циркуляции (см. ниже).
2) Предполагается, что at > д9 > О,
266
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
{х, у, г), нам надо (аналогично тому, как мы это делали в предыдущем
параграфе) при пользовании формулой (29.8) выбрать за площадку {F') часть
трапеции ABDC, попадающую внутрь конуса характеристик, вершина которого
находится в точке М. Ветвь гиперболы, по которой этот последний конус
пересекает плоскость (ху),
будет в зависимости от расположения М отсекать разные части трапеции
ABDC. Так, например, для точек М, расположенных «над» плоскостью
или «под» плоскостью
эта гипербола вовсе не встретит прямоугольника ABDC, и для этих точек
надо считать
ср = 0.
Число всех возможных случаев равно здесь 15, в то время как для крыла
бесконечного размаха их было только 3 (см. предыдущий параграф).
Метод Прандтля позволяет найти скорости и давления в любой из этих
областей. Мы остановимся подробно лишь на отыскании у и на вычислении
сил, действующих на наше крыло; для этого необ« ходимо найти скорость ц'
и давление р' в точках крыла. Если вспомнить, что в краевое условие
(29.7), служащее для нахождения у, входят только точки крыла, станет
ясно, что из всех пятнадцати областей нам достаточно теперь рассмотреть
лишь те, пересечения
§ 29] ПОТЕНЦИАЛ УСКОРЕНИЯ, ТЕОРЕМА ПРАНДТЛЯ - ГЛАУЭРТА 267
которых с плоскостью (х, у) не выходят за пределы трапеции ABDC, Области
эти, пересекающиеся с ABDC по площадкам: AFGB (обозначена цифрой 2), ACF
(цифра 3) и BGD (цифра 4), назовем областями II, III, IV соответственно.
Начнём с области II. Область, отсекаемая от крыла нашей гиперболой, будет
здесь совершенно такая же, как если бы мы решили задачу о крыле
бесконечного размаха. Если бы речь шла о движении трапеции ABGF, то силы,
на неё действующие, были бы поэтому в точности те же, что и в случае
крыла бесконечного размаха.
Желая подсчитать у для области 2, мы можем заранее считать его
постоянным, и условие
(<L0=®iP (29-9>
при постоянном у удовлетворится. Действительно, здесь будет (для верха):
_ _ FiL А. 7* ? аУ' dx'_
? 2” дгх'1о у-У-а У(х-х')г-Р(у-у У - к2гг ~
= k =~Т'
где A — ~Yix — х')2 — k2z2. Для области I (лежащей над плоскостью z — xjk
или под плоскостью z — — xjk) имеем просто
<р г= 0.
-±- f у, z)di
нам достаточно распространить интегрирование от \~kz (или от ? =— kz при
2<0) до ? = jc. Итак:
Ф/ (х, у. z) = l{x — kz),
Поэтому в выражении
Ф' =
, _ д&__ fk
v*~ dz — 2 '
(29.10)
268
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
мы действительно можем удовлетворить (29.9), если положим1)
Обратимся к области IV (для области III вычисление можно будет провести
по аналогии). Здесь мы имеем переменное 7 = 7 (х', у'), причём, так как
возмущение, происходящее в углу GBD, обусловлено наличием точки В, можно
искать 7 как функцию от комбинации
т. е. считать 7 одинаковым во всех точках одного луча, выходящего из В, и
меняющимся от луча к лучу. Можно считать, что 7 обращается в нуль на луче
BD и обращается в y0:
на луче BG. Но тогда в интеграле (29.8) удобно перейти к цилиндрическим
координатам z, г', 6' по формулам:
