Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
гиперболами типа III или IV.
Гораздо сложнее обстоит дело в случае профиля нулевой толщины. Здесь
дФ'1дг будет симметрично относительно плоскости 2 = 0. Поверхности R, Q,
Т являются поверхностями разрыва функции Ф'; на этих поверхностях должны
выполняться условия непрерывности нормальной составляющей скорости и
давления. Это означает, что вне крыла, при переходе через плоскость 2 =
0, производные дФ'/дг и дФ'/дх по (28.12) будут непрерывны. Но так как
теперь дФ /дг симметрично относительно плоскости 2 = 0, то дФ'/дх должно
быть антисимметрично, или, так как дФ'/дх непрерывно при переходе через
плоскость 2=0, то мы должны потребовать, чтобы было
= 0 при 2 = 0
(30.12)
на вихревой пелене Т, а также в областях R и Q. Заметим ещё, что на линии
ААГ {СС’) (рис. 103) должно быть Ф' = 0, и тогда, по (30.12), во всей
области R (Q) будет ф' = 0. Таким образом, в случае крыла нулевой толщины
мы должны решить следующую краевую задачу. Определить Ф'
, чтобы было при 2 = 0
s области Е, i области R(Q), i области Т.
(30.13)
(30.14)
(30.15)
Покажем, как можно решить эту задачу.
Начнём со случая влияния одного концевого эффекта. Итак, пусть положение
гиперболы, отделяющей область интеграции в выражении (30.1), отвечает на
рис. 102 кривой III. В области R функция с (х, у) неизвестна. Построим
интегральное уравнение для её определения. Для этого обратимся к той
части области R, которая расположена между характеристикой А А' (рис.
103) и характеристикой ВВ" (точка А — по-прежнему точка, в которой
характеристика
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА
279
касается контура, точка В — крайняя справа точка контура). Выразим по
формуле (30.1) потенциал скорости Ф' какой-либо точки N(x, у, 0) этой
области. По (30.14) этот потенциал равен нулю. Область интегрирования
разобьём на две части (как показано на рис. 103) — область 5 (л:, у) и
о(х, у). Область 5 — это часть крыла, находящаяся внутри
характеристического конуса с вершиной в N(x, у, 0). В области 5, согласно
(30.2) и (30.13), функция задана. Область о — часть области R,
находящаяся внутри нашего конуса. В этой области с является неизвестной
величиной. Таким образом, мы приходим к интегральному уравнению
0= ГГ -у? . cK’zy:L==-^ dx'dy'-±f(x, у), (30.16)
J(x/l W(у-у')*
где f{x, у) — известная функция:
/(*. у)=—-^// *<*'?/'> iX'^-
Х'У) (30.17)
Интегральное уравнение (30.16) существенно упрощается и может быть легко
решено, если ввести вместо л: и у характеристические координаты xv ух из
равенств:
xi — х х0- к {у у0); у1 — х л;0 -j- fe (у у0); \
х'1 = х' — x0 — k(y' — y0); у[~х'-xQ-^k(y' — y0). J
Здесь х0, у0 — любые числа, например, координаты точки О! пересечения
характеристик, проходящих через Л и С соответственно (рис. 103). Так как
по известному правилу
, , D(x[, у!) I 1, 1 I
dx dy =-щу dx'dy'—\ ^ \dx'dy' — 2kdx'dy',
то мы получим вместо (30.17):
<30'19)
В новых координатах переменные интегрирования в области о будут меняться
в пределах
о <*;<*„ Ф1(х1)<у;<у1>
где yt = ф! уравнение в новых координатах боковой кромки крыла — дуги АВ
(рис. 104), в области 5 переменная х'г меняется
280 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
в тех же пределах, а переменная меняется в пределах где y1 = iji(jf1) —
уравнение передней кромки крыла — дуги С А.
Рис. 104.
интегральное уравнение (30.19) будет
s'
= — f f Ji)-------,/v- (30.20)
где
a = -^5 <30'21>
(известная величина). Решение уравнения (30.20) равносильно решению двух
уравнений Абеля. Собирая оба интеграла из (30.20), получим
Это — уравнение Абеля с переменным пределом и с правой частью,
тождественно равной нулю. Следовательно, квадратная скобка
fp^Ldy[=- '[ (30.23)
ф, (ж,) * У\ — У\ ФМ УУ\ — У\
и проинтегрируем no yf от у,^^) до y, = t. Получим^
-МГ^Ь <30,24) <30-25)
н°
/к(,-Х-^-[>Ч-^)-
и мы придём к формуле:
%^/с(х»’ ^0^1 =
«<*.. Л) = -7 у„Д,(77 / “Л' Д* ^
(30.26)
282
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Заметим, что по (30.26) скорости возмущённого потока г»' обращаются в
бесконечность при приближении к дуге АВ (к линии у»! — = ф1(х1)) извне
как 1/R, где R— расстояние от точки N (xv 0)
Значение функции с в области Q найдётся аналогичным образом заменой
функций <]> и tyi на соответствующие функции, представляю-: форму кромки
«левой сто-
Зная с в области R, мы можем найти теперь потенциал Ф' в любой точке М,
для которой область интегрирования в (30.1) распространена на поверхность
крыла и область R (случай III, рис. 102); пусть эта область
интегрирования отсекается гиперболой Г (рис. 105). Для нахождения
потенциала перейдём к координатам xv yv zx\
x1==x — x0 — k(y — y о), yi = x — x0-\-k(y — y0), zx — kz,
где x0, yQ — координаты точки Ог пересечения касательных, проходящих
через Л и С (рис. 105).
В новых координатах (30.1)
+//
Область интегрирования разбита в этой формуле на три части <$0 + ^14-^2
(Рис- 10^)- Здесь S2 — часть области интегрирования, расположенная в R-,
S0 — часть крыла, расположенная между гиперболой Г и прямой, параллельной
