Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Г2и)2 = Ч~
в
Г2
откуда
о
ГТО)
1ШГ
" Г п(Х),
2 2
в =
Рассмотрим теперь движение со скоростями
v =v': v —V -4- ю'\ v =vr,
г г* <р 'Ро ? z z9
где v', v'z, v' — бесконечно малые величины, квадратами которых
можно пренебречь. Напишем уравнения Навье — Стокса в цилиндрических
координатах и вставим введённые значения скоростей, отбрасывая малые
второго порядка. Получим уравнения движения:
1 др
дг
д\
? 2Av'r v 1 др
дг2 Г d2v'„
д
1 Г
р дг
дг2
, Г л; + 4"^
dvr
~W ’
dv'9 ~W ’
dv'z
dt
62 -1 d
(Al— dr2 ^ r dr разрывности
p' — возмущение давления^, и уравнение не-
drvr
drv,
= 0.
дг ' дг
При этом граничные условия будут иметь вид:
v'r = v'lf = v'z = 0 при Г — Г{ и при Г — Г2.
Примем:
v‘r — ulco$'kze?t\ v' = «2 cos Ize^-, v'g = w3 sin \ze^,
§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 661
где uv и2, в3— функции одного только г, и исключим р' из наших уравнений.
Получим:
(дх — ~рг — Х'2) u2 = 2Auv
-JF& ~ Х'2) «з = - 2 (^4 + 4) «2 - v (Д1 ~ -р- ~ Х'2) «»? -(2-1)
Л--
X dr du{
dr ' г ' 3
где
Ад- = О,
A/2 = A2 + i-.
Эту систему уравнений надо проинтегрировать, принимая во внимание краевые
условия:
их = «2 = и3 = 0 при т — гх и при г = г2.
Будем искать решения для иг(г) в виде ряда Фурье-Бесселя, расположенного
по бесселевым функциям Z1(kmr) — clJl(kmr)~^ + c2Nx{kmr), где Cj и с2
подобраны так, чтобы Z1(kmrx)=Zx(kmr2)=0;
последнее, очевидно, означает, что kv k2 km, ... суть корни
уравнения
Jx(kmr2) Nx (kmr2)
Тогда
? 0.
Ux(r) = 2amZx(kmr), (2.2)
m~\
причём коэффициенты am неизвестны и подлежат определению; они должны
иметь вид: г2
rul (r) Z1 (kmr) dr< Hm = f rZl (k™r) dr-
Теперь для u2 мы получим уравнение:
СО
v + Т W—~ X'S) = 2 A S ik"‘r)
т-\
и, так как
(-&-+7W--k-x-)zl(av)=o,
решение его можно получить как сумму общего решения однородного уравнения
(&'г) + с a Nx (iAV)
662 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. Ill
(с3 и б'4 — произвольные постоянные) и ряда
СО
2 bmZx 0Ьтг),
т~\
где
+ * )
Условия и2 (г4) = и2 (г2) = 0 дадут затем
с3 = с4 = 0.
Чтобы определить и3, обратимся ко второму из уравнений (2.1) и рассмотрим
сперва решение однородного уравнения. Так как по известному свойству
функций Бесселя
j—Zoik^^-Z^kr), мы, очевидно, удовлетворим уравнению
A-A_^)«3 = о,
положив
«з = Z0(tT/r) -ф- const.
Таким образом нам, очевидно, надо искать выражение для иг{г) в виде:
СО
и3(г)= с5Ч- Vo0'А>+ CjNoiik'r) -j- 2 dmZ0(kmr), (2.4)
т -1
где с5, с6, с7 — произвольные постоянные, а для определения получим
уравнение:
СО со
S А (пН ^ ^ Zl (^г) = S v ^ + k*)amZl +
/71 = 1 = l
CO
+ Мл + л)2-7л^77Ж2.<6,.'-)- <2-5>
m = l v чйш г л )
Таким образом в качестве неизвестных коэффициентов у нас фигурируют пока
с5, Cq, с7, av a2, .... am dv d2 dm, ...
Вместо того чтобы определять dv d2, ... из уравнения (2.5) через av а2,
..., удовлетворим сперва последнему из оставшихся уравнений— уравнению
неразрывности [третьему из уравнений (2.1)1. Член и du °°
А + Д361- очевидно, 2 kmamZa{kmr) *), и уравнение нераз-
*) Вследствие известного соотношения, Z[ (х) = Z0(x) ?lS?L,
§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 663
рывности можно будет заменить на основании (2.4) следующим соотношением:
ОО
+ {с5”Ьс6^о(^//')Ч-С7А^0(Л//')] =0, (2.6)
т~\
Этим уравнением мы и воспользуемся для определения dm через посредство av
а2, ... и через с5, с6, с7. Чтобы возможно было это сделать, надо,
однако, предварительно переразложить J0(i'k'r) и N0(il'r) в ряды Фурье-
Бесселя, но уже не по Zl(kmr), а по функциям ZQ(kmr) (11фкт). Мы можем
написать
СО
Н + СЛ (&'Г) + C7N0 (il'r) — Cs -f- 2 amZ0 (kmr)’
m~ 1
где
= rZ0 (kmr) [c6y0 (il'r) + c7N0 (il'r)] dr,
ri
r3
Hm = J zl(kmr)rdr,
rI
с’. — постоянная, содержащая в качестве слагаемого с5. Для опреде-
ления ат замечаем, что интегралы типа j rJ0(kmr)J0(il'r)dr легко
о
вычисляются. Действительно, по общей формуле: h
/ rJn(ksr)Jn(ktr)dr = и
= | ki[_k2 \Ып (ksr) j'n (ktr) — ksJn (ktr) Jn (V)] |!;
5 1 Г,
следовательно:
am = 77— C6 (???? r-....,i [H’Zq (kmr) Jo (il'r) — kmJo (il'r) z'o
(kmr)\ \ -j~
Hm \k2m + l jfi
+ 77~ c7 { , r ,2 [ik'zo (*m Г) No (il'r) — kmZ'0 (kmr) N0 (/>/r)]
1 .
Nm 14 + * jri
Ho Z'0(kmr) = — Zx{kmr) и потому z'0(kmri) — Zo(kmr2) = 0. Вводя ещё
вместо произвольных постоянных с6 и с7 произвольные постоян-
ные с6 и с7:
сg = (к г2 {с6Уо (И’ъ) + с,Nq (ik'r2)},
С/ = — il ri (сб-А) i.il r 1) CiNo (Л г])},
664
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. in
получим:
ат — 7Т Т2Т [cUo (kmr2) 4- C7Z0 {kmrx)\.
^mOm + X )
Уравнение (2.6) позволяет теперь заключить, что
*5 = °
и позволяет найти все dm через посредство с6, с7 и а.п при помощи
соотношений
w Z0 (femr2) ,_______Z0 (kmri) km /q 74
я«М, + »я) + <2'7)
Нам остаётся теперь воспользоваться (2.5) и вставить туда эти dm.
В (2.5), однако, имеются члены вида const. ~ Zx{kmr). Эти члены
нам надлежит сперва разложить в ряды по функциям Zx (kmr). Только когда
это будет сделано, возможно будет, вставив dm в (2.5), произвести
